Tóm tắt lý thuyết cực trị của hàm số

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Tóm tắt lý thuyết cực trị của hàm số, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Tóm tắt lý thuyết cực trị của hàm số:
1 Định nghĩa. Định nghĩa 1. Hàm số f(x) xác định trên. Điểm được gọi là điểm cực đại của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng (a;b) sao cho và f(0) > f(x). Điểm được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng (a;b) sao cho và f(1) < f(x). 2 Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực trị. Định lí 1 (Điều kiện cần). Nếu hàm số f(x) đạt cực trị tại điểm ao và hàm số có đạo hàm tại thì. Tuy nhiên hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm, chẳng hạn với hàm y = |x|, đại cực trị tại 0 nhưng không có đạo hàm tại đó. Định lí 2 (Điều kiện đủ). Ta có: Nếu f(x) < 0 và f(x) > 0 thì f(x) đạt cực tiểu tại. Nếu f(x) > 0 và f(x) < 0 thì f(x) đạt cực đại tại. Tức là, nếu đạo hàm của hàm số y = f(x) đổi dấu từ âm sang dương khi qua. Ta nói, đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là. Nếu đạo hàm của hàm số y = f(x) đổi dấu từ dương sang âm khi qua. Ta nói đồ thị hàm số có điểm cực đại. Chú ý: Không cần xét hàm số y = f(x) có hay không đạo hàm tại. Định lí 3. Hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp một trên (a;b) chứa do mà f'(x) = 0 và y = f(x) có đạo hàm cấp hai khác không. Khi đó: Nếu thì hàm số y = f(x) đạt cực tiểu. Nếu thì hàm số y = f(x) đạt cực đại. Từ đây, ta có phương pháp tìm cực trị của hàm số. Tính đạo hàm, tìm những điểm mà tại đó hoặc y không xác định. Xét dấu y dựa vào định lí 2 để kết luận điểm cực đại, cực tiểu. Hoặc xét dấu (nghiệm của g) dựa vào định lí 3 để kết luận. Chú ý: Hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất. Dấu của đạo hàm không phụ thuộc vào c, hay độc lập với c nên hàm số luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên các khoảng xác định của nó. Do đó hàm số luôn không có cực trị. Bài toán cực trị với hàm đa thức bậc ba: Cho hàm số bậc ba có đồ thị là (C). Ta có. Số lượng điểm cực trị: Hàm số bậc ba có đạo hàm là một tam thức bậc hai nên hàm số có cực trị ở có cực đại 2 có cực tiểu e có cả cực đại và cực tiểu ở có hai cực trị. Phương trình g = 0 có hai nghiệm phân biệt. Hàm số không có cực trị ở phương trình y = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép. Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị. Trong trường hợp hàm số có hai điểm cực trị, ta viết được đường thẳng đi qua hai điểm cực trị như sau: Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức được thương và phần dư, ta được: Bước 2: Chứng minh đường thẳng là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị. Bài toán cực trị với hàm bậc 4 trùng phương: Cho hàm số bậc 4 trùng phương. Số lượng điểm cực trị Hàm số bậc bốn luôn luôn có cực trị. Hàm số có ba cực trị có cả cực đại và cực tiểu ở phương trình y = 0 có ba nghiệm phân biệt. Hàm số có một cực trị ở phương trình y = 0 có đúng một nghiệm duy nhất. Khi hàm số có 3 điểm cực trị. B và C đối xứng nhau qua trục, điểm A nằm trên trục. Do đó tam giác ABC cân tại A.