Tổ hợp

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Tổ hợp, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.

Nội dung bài viết Tổ hợp:
Tổ hợp. Phương pháp. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng. Ví dụ 1: Cho tập M có 10 phần tử. Số tập con gồm 2 phần tử của M là: Hướng dẫn giải. Số tập con gồm 2 phần tử của M là số cách chọn 2 phần tử bất kì trong 10 phần tử của M. Do đó số tập con gồm hai phần tử của M là C. Ví dụ 2: Có bao nhiêu cách phân công hai bạn từ một tổ có 10 bạn để làm trực nhật? Hướng dẫn giải. Kết quả của sự phân công một nhóm gồm 2 bạn là một tổ hợp chập 2 của 10. Vậy số cách phân Công là: C = 10 = 45. Ví dụ 3: Số đường chéo của một đa giác lồi 15 cạnh là: Hướng dẫn giải. Số đoạn thẳng có hai đầu mút là hai đỉnh của đa giác đã cho là C5, trong đó số cạnh của đa giác là 15. Vậy số các đường chéo là: C7 – 15 = 105 – 15 = 90. Ví dụ 4: Có bao nhiêu cách phân công 8 bạn học sinh thành hai nhóm: một nhóm có 5 bạn, nhóm kia có 3 bạn? Hướng dẫn giải. Số cách phân nhóm 5 bạn trong số 8 bạn học sinh là C. Sau khi phân nhóm 5 bạn sẽ còn lại 3 bạn được phân công vào nhóm còn lại. Vì vậy sẽ có C = 56 cách.
Ví dụ 5: Lớp 11 của một trường THPT có 45 học sinh. Cần chọn 4 bạn vào Đội Cờ đỏ và 3 bạn vào Ban Chấp hành Đoàn. Số cách chọn là: Chọn 4 bạn trong số 45 bạn vào Đội Cờ đỏ nên có cây cách chọn. Sau khi chọn 4 bạn rồi, chọn 3 bạn trong số 45 – 4 = 41 bạn còn lại vào Ban Chấp hành Đoàn nên có C1 cách chọn. Từ đó, theo quy tắc nhân có cây x a cách chọn. Ví dụ 6: Từ 10 điểm phân biệt trong mặt phẳng và không có ba điểm nào thẳng hàng, có thể vẽ được bao nhiêu tam giác? Từ 3 điểm không thẳng hàng ta có một tam giác và để ý các tam giác ABC, BCA, CAB,… là giống nhau. Do đó số tam giác có thể vẽ được là số cách chọn 3 điểm không có thứ tự từ 10 điểm của đề bài. Vậy đáp số là C. Ví dụ 7: Số đường chéo của một đa giác có 10 cạnh là bao nhiêu? Một đa giác có 10 cạnh thì có 10 đỉnh. Số đoạn thẳng được thành lập từ 10 đỉnh của đa giác là C. Số đường chéo của đa giác là số đoạn thẳng vừa tìm ở trên và bỏ đi số cạnh của đa giác. Vậy số đường chéo cần tìm là: C7 – 10 = 35 (đường chéo).
Ví dụ 8: Một người nông dân có 10 cây giống khác nhau gồm 6 cây xoài và 4 cây mít. Người ấy muốn chọn 4 cây để trồng sao cho phải có đủ 2 loại xoài và mít. Hỏi người ấy có mấy cách để chọn? Nhận xét: Phải có xoài và mít là phải có không cụ thể. Phải có cây mít nào? Và phải có cây xoài nào? Do đó ta dùng cách chia trường hợp như sau: TH1: 1 cây xoài và 3 cây mít. Số cách chọn 1 trong 6 cây xoài là 6 (cách). Số cách chọn 3 trong 4 cây mít là C = 4 (cách). Suy ra TH1 có 6 x 4 = 24 (cách). TH2: 2 cây xoài và 2 cây mít. Tương tự, ta có: C: 90 (cách) TH3: 3 cây xoài và 1 cây mít. Tương tự ta có: Cả x 4 = 80 (cách). Vậy số cách chọn theo yêu cầu bài toán là: 24 + 90 + 8 = 194 (cách). Ví dụ 9: Từ 3 bông hồng vàng, 4 bông hồng trắng và 5 bông hồng đỏ (các bông xem như đôi một khác nhau), có bao nhiêu cách chọn một bó hoa gồm 5 bông trong đó có đúng 1 bông hồng đỏ?
Số cách chọn 1 trong 5 bông hồng đỏ là 5 (cách). Số cách chọn 1 trong 7 bông hồng (vàng và trắng) là: C = 35 (cách). Vậy số cách chọn một bó bông theo yêu cầu bài toán là: 5 x 35 = 175 (cách). Ví dụ 10: Một lớp có 20 học sinh trong đó có 15 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập một đội gồm 4 học sinh trong đó có ít nhất một nữ? Cách 1: Chia trường hợp TH1: 1 nữ và 3 nam. Số cách chọn 1 trong 5 nữ là 5 (cách) Số cách chọn 3 trong 15 nam là C5 = 455 (cách). Suy ra TH1 có 5 x 455= 2275 (cách). TH2: 2 nữ và 2 nam. Tương tự ta có: C3 x 1 = 1050 (cách). TH3: 3 nữ và 1 nam. Tương tự ta có: C x 15 = 150 (cách). TH4: 4 nữ. Tương tự ta có: c3 = 5 (cách). Vậy số cách chọn theo yêu cầu bài toán là: 2275 + 1050 + 150 + 5 = 3480 (cách). Cách 2: Dùng phần bù. Số cách chọn 4 học sinh không phân biệt nam, nữ từ 20 học sinh là: Ca = 4845 (cách). Số cách chọn 4 học sinh nam từ 15 học sinh nam là: C1s (cách) Vậy số cách chọn theo yêu cầu bài toán là: 4845 – 1365 = 3480 (cách).
Ví dụ 11: Có 20 quyển sách khác nhau gồm 15 quyển sách toán và 5 quyển sách lý. Có bao nhiêu cách chọn 5 quyển sách toán và 2 quyển sách lý để xếp có thứ tự lên 1 kệ sách dài? Số cách chọn 5 trong 15 quyển sách toán là C5 = 3003 (cách). Số cách chọn 2 trong 5 quyển sách lý là C3 = 10 (cách). Số cách xếp 7 quyển sách toán, lý vừa chọn lên kệ sách dài là: PH = 5040 (cách). Vậy số cách xếp theo yêu cầu bài toán là: 3003 x 10 x 5040 = 151351200 (cách). Ví dụ 12: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau trong đó có 3 chữ số lẻ và 2 chữ số chẵn? Số cách chọn 3 trong 5 chữ số lẻ (1, 3, 5, 7, 9} là: C = 10 (cách). Số cách chọn 2 trong 4 chữ số chẵn {2, 4, 6, 8} là: C = 6 (cách). Số cách xếp 5 chữ số vừa chọn vào 5 vị trí là: Ps = 120 (cách) Vậy số các số tự nhiên cần tìm là: 10 x 6 x 20 = 7200 (số).
Ví dụ 13: Một học sinh có 10 cây viết khác nhau. Học sinh đó có bao nhiêu cách chọn 3 trong 10 cây viết đó để đi học? Gọi 3 cây viết được chọn là A, B, C không có thứ tự, nghĩa là A, B, C hoặc B, C, A hoặc C, A, B,… là giống nhau. Do đó đáp số là C. Ví dụ 14: Một lớp có 30 học sinh. Giáo viên chủ nhiệm có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh làm ban cán sự lớp? Đề bài chỉ yêu cầu chọn 3 học sinh làm ban cán sự lớp mà không phân công cụ thể công việc của 3 học sinh đó. Do vậy 3 học sinh được chọn không có thứ tự. Nghĩa là số cách chọn theo yêu cầu bài toán là C (cách). Ví dụ 15: Một hộp đựng 10 quả cầu khác nhau gồm 5 quả cầu trắng và 5 quả cầu đen. Có bao nhiều cách chọn 2 quả cầu trắng và 2 quả cầu đen từ hộp đó.