Tính xác suất thông qua biến cố đối

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Tính xác suất thông qua biến cố đối, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.

Nội dung bài viết Tính xác suất thông qua biến cố đối:
Dạng 2: Tính xác suất thông qua biến cố đối Ví dụ 1. Đề cương ôn tập cuối năm môn Toán lớp 12 có 40 câu hỏi. Đề thi cuối năm gồm 3 câu hỏi trong số 40 câu đó. Một học sinh chỉ ôn 20 câu trong đề cương. Giả sử các câu hỏi trong đề cương đều có khả năng được chọn làm câu hỏi thi như nhau. Hãy tính xác suất để có ít nhất 2 câu hỏi của đề thi cuối năm nằm trong số 20 câu hỏi mà học sinh nói trên đã ôn.
Lời giải: Không gian mẫu có 3 40 C 9880 (phần tử). Gọi A là biến cố “có ít nhất 2 câu hỏi của đề thi nằm trong số 20 câu đã ôn”. Ta thấy xảy ra một trong hai TH sau: TH1: Trong đề thi có đúng 2 câu hỏi trong 20 câu đã ôn. TH2: Trong đề thi có đúng 3 câu hỏi trong 20 câu đã ôn. Do đó 2 1 1 20 20 20 1330 A C C C (phần tử). Vậy xác suất cần tìm 1330 7 9880 52 A P A.
Ví dụ 2. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được chọn từ các số 0; 1; 2; 3; 4; 5. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S, tính xác suất để số được chọn có mặt ít nhất chữ số 1 hoặc chữ số 2. Lời giải: Số các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được chọn từ 0; 1; 2; 3; 4; 5 là 3 5 5 300 A (số). Số các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được chọn từ 0; 3; 4; 5 là 3 3 18 P (số). Số các số tự nhiên được chọn có mặt ít nhất chữ số 1 hoặc chữ số 2 là: 300 18 282 (số). Vậy xác suất cần tính là 282 47 300 50.
Ví dụ 3. Một hộp quà đựng 16 dây buộc tóc cùng chất liệu, cùng kiểu dáng nhưng khác nhau về màu sắc. Cụ thể trong hộp có 8 dây xanh, 5 dây đỏ, 3 dây vàng. Bạn An được chọn ngẫu nhiên 6 dây từ hộp quà để làm phần thưởng cho mình. Tính xác suất để trong 6 dây bạn An chọn có ít nhất 1 dây vàng và không quá 4 dây đỏ. Lời giải: Chọn ngẫu nhiên 6 dây từ 16 dây thì số cách chọn là: 6 16 C 8008. Gọi A là biến cố “6 dây bạn An chọn có ít nhất 1 dây vàng và không quá 4 dây đỏ”.
Do đó nếu tính trực tiếp sẽ có quá nhiều trường hợp, và từ STUDY TIP ở ví dụ 7, ta sẽ sử dụng biến cố đối để giải quyết bài toán: TH1: Không có dây nào vàng, số cách lấy là: 6 C13. TH2: Có 1 dây vàng và 5 dây đỏ, số cách lấy là: 1 5 3 5 C C. Suy ra 6 6 1 5 C. Nên 6 6 1 5 6289 8008 A C C C C P A. Chọn C. Ví dụ 4. Một trường THPT có 18 học sinh giỏi toàn diện, trong đó có 7 học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Chọn ngẫu nhiên 8 học sinh từ 18 học sinh trên để đi dự trại hè. Tính xác suất để mỗi khối có ít nhất 1 học sinh được chọn.
Lời giải: Chọn 8 học sinh bất kì trong 18 học sinh thì số cách chọn là 8 C18 cách. Tương tự với dấu hiệu mà STUDY TIP đưa ra thì ta tìm số trường hợp thuận lợi cho biến cố đối của biến cố cần tìm. Chọn 8 học sinh mà không có khối 10, có 8 C13 cách. Chọn 8 học sinh mà không có khối 11, có 8 C12 cách. Chọn 8 học sinh mà không có khối 12, có 8 C11 cách. Gọi A là biến cố “8 học sinh được chọn, mỗi khối có ít nhất 1 học sinh”. Số trường hợp thuận lợi cho A là: 18 13 12 11 41811 A C C. Vậy xác suất cần tìm là 8 18 41811 1267 1326 A P A C. Chọn D.
Ví dụ 5. Chị bán hoa có 14 bông hoa hồng, trong đó có 6 bông hoa màu đỏ, 5 bông hoa màu hồng và 3 bông hoa màu vàng. Trong ngày Valentine 1 anh chàng chọn 4 bông hoa để tạo thành một bó hoa trong 14 bông hoa trên để tặng bạn gái của mình. Tính xác suất để 4 bông hoa được chọn không có quá 2 loại hoa khác màu. Lời giải: Số cách chọn 4 bông hoa từ 14 bông hoa là 4 14 C 1001. Số cách chọn 4 bông hoa có đủ cả 3 màu được tính như sau: Hoa đỏ có 2 bông, hoa hồng và hoa vàng có 1 bông. Số cách chọn là 2 1 1 6 5 3 C. Hoa hồng có 1 bông, hoa đỏ và hoa vàng có 1 bông. Số cách chọn là 1 2 1 6 5 3 C. Hoa vàng có 2 bông, hoa đỏ và hoa hồng có 1 bông. Số cách chọn là 6 5 3 C C C . . 90. Vậy theo quy tắc cộng có 225 180 90 495 cách chọn mà 4 bông hoa có đủ cả 3 màu.
Gọi A là biến cố: “4 bông hoa đó không có quá 2 loại hoa khác màu”. Ta có: 1001 495 506 A. Do vậy 506 46 1001 91 P A. Ví dụ 6. Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 3, 5, 7, 9. Tính xác suất để tìm được một số không bắt đầu bởi 135. Lời giải: Số phần tử không gian mẫu là 5!. Gọi A là biến cố “số tìm được không bắt đầu bởi 135”. Thì biến cố A là biến cố “số tìm được bắt đầu bởi 135”. Buộc các số 135 lại thì ta còn 3 phần tử. Số các sô tạo thành thỏa mãn số 135 đứng đầu là 1.2.1 2 cách 120 2 118 A cách.
Nên 118 59 120 60 A P A. Chọn C. Ví dụ 7. Trong một buổi liên hoan có 10 cặp nam nữ, trong đó có 4 cặp vợ chồng. Chọn ngẫu nhiên 3 người để biểu diễn một tiết mục văn nghệ. Tính xác suất để 3 người được chọn không có cặp vợ chồng nào. Lời giải: Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 3 người trong 20 người. Suy ra số phần tử không gian mẫu là 3 20 C 1140. Gọi A là biến cố “3 người được chọn không có cặp vợ chồng nào”. Để tìm số phần tử của A, ta đi tìm số phần tử của biến cố A, với biến cố A là 3 người được chọn luôn có 1 cặp vợ chồng.
Chọn 1 cặp vợ chồng trong 4 cặp vợ chồng, có 1 C4 cách. Chọn thêm 1 người trong 18 người, có 1 C18 cách. Suy ra số phần tử của biến cố A là 1 1 4 18 72 A C C. Suy ra số phần tử của biến cố A là 1140 72 1068 A. Vậy xác suất cần tính 1068 89 1140 95 A P A. Chọn D. Ví dụ 8. Một lớp học có 40 học sinh trong đó có 4 cặp anh em sinh đôi. Trong buổi họp đầu năm thầy giáo chủ nhiệm lớp muốn chọn ra 3 học sinh để làm cán sự lớp gồm lớp trưởng, lớp phó và bí thư. Tính xác suất để chọn ra 3 học sinh làm cán sự lớp mà không có cặp anh em sinh đôi nào.