Tính xác suất bằng định nghĩa cổ điển

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Tính xác suất bằng định nghĩa cổ điển, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.

Nội dung bài viết Tính xác suất bằng định nghĩa cổ điển:
Dạng 1: Tính xác suất bằng định nghĩa cổ điển Ví dụ 1. Người ta gieo hai con xúc xắc đồng chất, có màu khác nhau. Tìm các xác suất để được: a) Hai con số khác nhau. b) Tổng của hai số bằng 6. c) Tổng của hai số lớn hơn 9. Lời giải: Người ta gieo hai con xúc xắc đồng chất, có màu khác nhau. Ta có: (trong đó ij là kết quả xuất hiện ở 2 con xúc xắc). Khi đó 6 36. a) Gọi A là biến cố “Xuất hiện 2 con số khác nhau” 6 5 30 A. Do đó 30 5 36 6 A P A.
b) Gọi B là biến cố “Tổng của 2 số bằng 6” Ta có: 6 5 1 4. Do đó: B P B c) Gọi C là biến cố “tổng của 2 số lớn hơn 9”. Do đó 6 1 36 6 C P C. Ví dụ 2. Lớp 11A có 25 đoàn viên trong đó 10 nam và 15 nữ. a) Chọn ngẫu nhiên một đoàn viên làm thư ký đại hội chi đoàn. Tìm xác suất để chọn được thư kí là một đoàn viên nữ. b) Chọn ngẫu nhiên hai đoàn viên trong chi đoàn để tham dự trại 26/3. Tìm xác suất để hai đoàn viên được chọn có một nam và một nữ.
Lời giải: a) Chọn ngẫu nhiên một đoàn viên làm thư ký đại hội chi đoàn 1 10 15 25. Gọi A là biến cố “chọn được thư kí là một đoàn viên nữ” 1 15 15 A C. Do đó 1 15 3 25 5 A P A. b) Chọn ngẫu nhiên hai đoàn viên trong chi đoàn 2 1 1 2 300. Gọi B là biến cố “chọn 2 đoàn viên có 1 nam, 1 nữ” 1 1 10 15 150 B C C.
Do đó 150 1 300 2 B P B. Ví dụ 3. Trong một lớp học gồm có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Giáo viên gọi ngẫu nhiên 4 học sinh lên bảng giải bài tập. Tính xác suất để 4 học sinh được gọi có cả nam và nữ. Lời giải: Số cách chọn 4 học sinh trong lớp là: 4 25 C 12650. Số cách chọn 4 học sinh có cả nam và nữ là: 15 10 15 10 15 10 C C. Xác suất để 4 học sinh được gọi có cả nam và nữ là: 11075 8755 12650 P.
Ví dụ 4. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau. Gọi A là biến cố “Số tự nhiên được chọn gồm 4 chữ số 3, 4, 5, 6”. Hãy tính xác suất của biến cố A. Lời giải: Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau 3 7 4536 A. Gọi A là biến cố “Số tự nhiên được chọn gồm 4 chữ số 3, 4, 5, 6” 432 24 A A. Xác suất của biến cố A là: 24 1 4536 189 A P A.
Ví dụ 5. Một tổ có 9 học sinh, trong đó có 5 nam và 4 nữ được xếp thành hàng dọc. Tính xác suất sao cho 5 bạn nam phải đứng kề nhau. Lời giải: Một tổ có 9 học sinh được xếp thành hàng dọc 9! Gọi A là biến cố “5 bạn nam đứng kề nhau” 5!.5! A (Cố định 5 bạn nam (5 bạn nam đứng kề nhau có 5! cách xếp), coi 5 bạn nam là 1 người xếp cùng với 4 bạn nữ kia, ta lại có 5! cách xếp).
Do đó 5! 5! 5 9! 126 A P A. Ví dụ 6. Một tổ có 9 học sinh, trong đó có 5 nam và 4 nữ được xếp thành một hàng dọc. Tính xác suất sao cho không có hai bạn nam nào đứng kề nhau. Lời giải: Một tổ có 9 học sinh được xếp thành hàng dọc 9! Gọi A là biến cố “không có hai bạn nam nào đứng kề nhau” Theo thứ tự đề bài sẽ là Nam, nữ, nam, nữ, nam, nữ, nam, nữ, nam. Khi đó 4!.5! A (Cứ xếp nam riêng, nữ riêng. Sau đó sẽ chèn 2 bên lại).
Do đó 4!.5! 1 9! 126 A P A. Ví dụ 7. Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tính xác suất để có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có một tấm thẻ mang số chia hết cho 10. Lời giải: Trong 30 số thì có: 15 số lẻ; 3 số chia hết cho 10 (là 10, 20 và 30) và 12 số chẵn còn lại nên: Có 10 C30 cách chọn ra 10 tấm trong 30 tấm. Có 5 C15 cách chọn ra 5 thẻ mang số lẻ trong số 15 tấm. Có 1 4 3 12 C C cách chọn ra 5 thẻ số chẵn mà có 1 thẻ mang số chia hết cho 10.
Vậy nên xác suất tìm được là: 5 1 4 15 3 12 10 C. Ví dụ 8. Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác suất của biến cố: a) Tổng hai mặt xuất hiện bằng 8. b) Tích hai mặt xuất hiện là số lẻ. c) Tích hai mặt xuất hiện là số chẵn. Lời giải: Mỗi khi gieo súc sắc, xác suất xuất hiện của mỗi mặt đều bằng 1 6 a) Tổng 2 mặt là 8 có thể là các bộ nên xác suất là 6 6 36. b) Tích hai mặt là số lẻ mỗi mặt đều là số lẻ mà xác suất khi gieo 1 súc sắc để được mặt lẻ 1 2 nên xác suất để cả 2 mặt đều lẻ 2 2 4.
c) Gọi xác suất tích 2 mặt xuất hiện là số lẻ là a thì xác suất để tích hai mặt xuất hiện là số chẵn 1 3 1 1 4 4 a. Ví dụ 9. Gieo hai con súc sắc cân đối đồng chất. Tính xác suất của biến cố: a) Tổng hai mặt xuất hiện bằng 7. b) Các mặt xuất hiện có số chấm bằng nhau. Lời giải: Phép thử gieo 2 con súc sắc: Không gian mẫu: n a) Biến cố A: tổng hai mặt xuất hiện bằng 7 nên ta dễ dàng liệt kê được xác suất xảy ra biến cố trên bằn: 6 1 36 6.
b) Biến cố B: các mặt xuất hiện có số chấm bằng nhau nên ta liệt kê được: B B n. Khi đó xác suất xảy ra biến cố bằng 6 1 36 6 B n n. Ví dụ 10. Một lớp có 30 học sinh, trong đó có 8 em giỏi, 15 em khá và 7 em trung bình. Chọn ngẫu nhiên 3 em đi dự đại hội. Tính xác suất để: a) Cả 3 em đều là học sinh giỏi. b) Có ít nhất 1 học sinh giỏi. c) Không có học sinh trung bình. Lời giải: Chọn 3 em trong số 30 em đi dự đại hội nên không gian mẫu 3 30 C 4060.