Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số với các hàm vô tỉ quen thuộc

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số với các hàm vô tỉ quen thuộc, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số với các hàm vô tỉ quen thuộc:
Dạng 1: Đổi biến số với các hàm vô tỉ quen thuộc Trong biểu thức của f x dx có chứa căn thì đặt căn đó bằng t. Trong biểu thức của f x dx có chứa biểu thức lũy thừa bậc cao thì đặt biểu thức đó bằng t. Trong biểu thức của f x dx có chứa hàm mũ với biểu thức trên mũ là một hàm số thì đặt biểu thức trên mũ bằng t. Ví dụ 1: Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số: a) 4 0 3 21 dx I x b) ln3 0 1 x dx I e c) 9 3 1 I x xdx 1 d) 1 2 2 4 I dx x.
Lời giải: Chú ý: Đổi biến nhớ phải đổi cận. a) Đặt 2 t x t x dx tdt 21 21. Đổi cận 0 1 4 3 x t x t. Khi đó 3 3 3 1 1 1 3 2 1 3ln 3 3 3ln 6 1 3ln 4 2 3ln 3 3 3 t I dt dt t t t t. b) Đặt 2 2 2 1 12 1 xx x t t e t e tdt e dx dx dt t. Đổi cận 0 2 ln 3 2 x t x t khi đó 2 2 1 2 ln ln 3 3 2 2 1 1 dt t I t t c) Đặt 3 3 2 t x t x t dt dx 1 13. Đổi cận 1 0 9 2 x t x t. Khi đó 2 2 7 4 2 3 2 63 0 0 0 468 1 3 3 74 7 t t I t t t dt t t dt.
d) Đặt x t dx tdt t 2sin 2cos 0π. Đổi cận 0 0 1 6 x t x t π. Khi đó 6 66 3 2 0 00 0 4cos 4cos 22 4 4sin 2cos 3 t t I dt dt dt t t t π π. Ví dụ 2: [Đề thi THPT Quốc gia 2018] Cho 55 16 ln 2 ln 5 ln11 9 dx abc x x với abc là các số hữu tỷ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng. Lời giải: Đặt 2 t x t x tdt dx 9 92. Đổi cận 16 5 55 8 x t x t. Khi đó 8 8 8 2 5 5 5 2 2 2 3 1 5112 1 1 ln ln ln ln 2 ln 5 ln11 9 3 3 6 3 3 11 3 4 3 3 3 tdt dt t I t t tt t. Do đó 21 1 c 33 3 a b ab c Chọn A.
Ví dụ 3: Cho 6 2 ln 3 ln 2 21 41 dx I abc x x với abc là các số hữu tỷ, tính tổng Aa b c 4 12. A. A = −2. B. A = −4. C. A = 4. D. A = 2. Lời giải Đặt 2 t x t x tdt dx 4 1 4 1 2. Đổi cận 6 5 2 3 x t x t Khi đó 5 55 5 2 2 2 3 33 3 1 1 1 1 31 ln 1 ln 2 1 (t 1) 1 (t 1) 1 2 12 2 tdt tdt I dt dt t t t t t 1 1 ln 3 ln 2 1 1 12 12 ab c. Do đó Aa b c 4 12 1 4 1 4. Chọn B.