Tính thể tích một số khối chóp đặc biệt

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Tính thể tích một số khối chóp đặc biệt, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Tính thể tích một số khối chóp đặc biệt:
Dạng 4: Thể tích một số khối chóp đặc biệt. Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau Cho khối chóp 1 2 n SAA A có tất cả các cạnh bên bằng nhau: 1 2 n SA SA SA. Dựng đường cao SH A A A (1 2 n) của khối chóp. Khi đó theo định lý Pytago ta có: n n SH SA HA SA HA SA HA. Lại có 1 2… n SA SA SA suy ra 1 2… HA HA HA n.
Như vậy: Hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống mặt đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác 1 2… AA An. Khi đó tan Rđ SH h α. Khối chóp có các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau. Cho khối chóp 1 2… n SAA A có tất cả các cạnh bên đều tạo với đáy một góc α. Dựng đường cao SH A A A 1 2 n của khối chóp.
Khi đó: 1 2 n SA H SA H SA H α suy ra 1 2 tan tan… tan n SH HA HA αα α HA. Do đó 1 2… HA HA HA n suy ra hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống mặt đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác 1 2… AA An. Khi đó tan Rđ SH h α. Khối chóp có các mặt bên đều tạo với đáy các góc bằng nhau?
Cho khối chóp 1 2… n SAA A có tất cả các mặt bên đều tạo với đáy một góc α. Dựng đường cao SH A A A (1 2 n) của khối chóp. Dựng HK A A 1 12 HK A A 2 23 HK A A n n. Do 1 12 12 1 α HK A A A A SK H SK H A A SH. Tương tự như vậy ta có: 1 2… n SK H SK H SK H α. Suy ra 1 2 tan tan… tan n SH HK HK HK αα α do đó 1 2… HK HK HK n.
Suy ra điểm H trùng với tâm đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh (hay đường tròn nội tiếp) của đa giác 1 2… AA An. Khi đó tan đ SH h r α. Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC, các cạnh bên SA = SB = SC = a. Biết rằng ASB BSC 60 ASC 90. Thể tích khối chóp đã cho là? Lời giải: Dễ thấy các tam giác ASB, BSC là tam giác đều do đó AB = BC = a.
Mặt khác: 2 2 2 2 AC SA SC a AB BC. Do đó tam giác ABC vuông tại B. Mặt khác SA = SB = SC = a nên hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống mặt đáy là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và là trung điểm của cạnh huyền AC. Ta có: 2 2 a SH 2 2 ABC a S ⇒ 3 2 12 S ABC a V. Chọn C. Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC, các cạnh bên SA = SB = SC = a. Biết rằng ASB 60 BSC 90 ASC 120.
Thể tích khối chóp đã cho là? Lời giải: Tam giác SAB đều nên AB = a ∆SBC vuông tại S nên 2 2 BC SB SC a 2. Mặt khác AC SA SC SA SC a 2 2 2 cos ASC 3. Do 222 AC AB BC nên tam giác ABC vuông tại B. Mặt khác SA = SB = SC = a nên hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống mặt đáy là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và là trung điểm của cạnh huyền AC.
Ta có: 2 2 2 ABC a S 1 2 3 12 S ABC ABC a V SH S. Chọn C. Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC, có AB = AC = a BAC 120. Các cạnh bên đều tạo với đáy một góc 60°. Thể tích khối chóp S.ABC là? Lời giải: Diện tích tam giác ABC là: 2 1 3 sin 2 4 ABC a S AB AC BAC. Do các cạnh bên đều tạo với đáy một góc bằng 60° ⇒ hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống mặt đáy là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B có AB = 3, BC = 4. Biết rằng các mặt bên của khối chóp đều tạo với đáy một góc bằng nhau và bằng 60°. Thể tích khối chóp đã cho là? Lời giải: Ta có: H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Lại có ABC pr S. Trong đó 1 B 6 2 ABC S AB C 2 2 AC AB BC 5. Suy ra 5 6 2 6 AB BC CA p r HK. Khi đó 5 3 tan 60 6 SH r. Do đó 1 53 3 3 V SH S ABC. Chọn A.