Tính thể tích khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Tính thể tích khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Tính thể tích khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy:
Dạng 2: Thể tích khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy Phương pháp giải: Giả sử hình chóp S.ABC có mặt phẳng (ABC) SAB. Ta dựng SH AB (trong trường hợp ∆SAB cân tại S thì H là trung điểm của AB). Khi đó (ABC) SH AB SAB SH ABC AB SAB ABC. Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B có AB a 3 BC a. Tam giác SAC cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy, mặt phẳng (SAB) tạo với đáy một góc bằng 60o. Thể tích khối chóp S.ABC là?
Lời giải: Gọi H là trung điểm của AC ta có SH AC Mặt khác (SAC ABC) suy ra SH ABC. Dựng HE AB khi đó HE là đường trung bình của tam giác ABC. Do đó: 2 2 BC a HE. Mặt khác: AB HE AB SHE SEH 60 AB SH. Do đó 2 3 3 tan 60 S 2 22 ABC a AB BC a SH HE 3 4 S ABC ABC a V SH S. Chọn B. Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC có AB = AC = 2a và BC 2 3 a gọi M là trung điểm của BC. Tam giác SAM cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng?
Thể tích khối chóp S.ABC là? Lời giải: Gọi H là trung điểm của AM ta có SH AM. Mặt khác (SAM ABC) nên SH ABC. Ta có: 2 2 BM MC a AM AB BM a 3 2 ABC ⇒ S AM BC a. Dựng HK SM HK SBC. Khi đó d SBC d H SBC HK (A 2 2) 22 2 31 1 1 3 4 2 a a HK SH SH HK HM 2 3 ABC S a. Do đó 3 1 3 2 S ABC ABC a V SH S. Chọn D. Ví dụ 3: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A, tam giác SAB vuông tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết SA a 6 SB a 3 và AC = 2a. Thể tích khối chóp S.ABC là?
Lời giải: Dựng SH AB. Mặt khác (SAB ABC) suy ra SH ABC. Ta có: 2 2 AB SA SB a 3. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAB ta có: 2 2 SA HA a AB AB AC. Khi đó 3 3 V SH S a S ABC ABC. Chọn A. Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC), SAB là tam giác đều cạnh a 3 BC a 3 đường thẳng SC tạo với mặt phẳng (ABC) góc 60°. Thể tích của khối chóp S.ABC bằng?
Lời giải: Ta có SC ABC SC AC SCA 60. Gọi H là trung điểm của AB mà ∆ABC cân ⇒ BH SAC. Gọi K là trung điểm của SA mà ∆SAB đều ⇒ BK SA. Suy ra SA BHK SA HK ⇒ mà HK SC SA SC ⇒ Tam giác SAC vuông tại S, có 60 2 AC SCA SC SH a. Diện tích tam giác ABC là 2 1 3 2 2 ∆ABC a S AB AC. Tam giác ABH vuông tại H có 2 2 BH AB AH a 2. Vậy thể tích khối chóp S.ABC là: 3 1 6 BHS 3 6 ABC a V ∆. Chọn D.
Ví dụ 5: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác đều. Tam giác SAC cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy, đường thẳng SB tạo với đáy một góc 60°. Biết khoảng cách từ S đến mặt đáy (ABC) là h. Thể tích khối chóp tính theo h là? Lời giải: Gọi H là trung điểm của AC ta có SH AC. Mặt khác (SAC ABC) nên SH ABC. Khi đó SH = h. Mặt khác SBH 60. Do vậy tan 60 3 h HB h HB. Đặt AB 3 2 2 3 3 ah h a HB ⇒ a. Do đó 2 2 3 3 4 9 ABC a h S. Chọn C.
Ví dụ 6: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Gọi M là trung điểm của BC. Tam giác SAM vuông tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết SA 2 a thể tích khối chóp S.ABC là? Lời giải: Dựng SH AM ta có (SAM ABC) nên SH ABC. Mặt khác 3 2 a AM. Suy ra 2 2 2 a SM AM SA. Lại có: 2 2 6 SA SM a SH SA SM. Vậy 3 1 2 3 24 S ABC ABC a V SH S. Chọn D.
Ví dụ 7: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD. Tam giác SAB đều cạnh 2a và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Đường thẳng SC tạo với đáy một góc 30°. Thể tích khối chóp S.ABCD là? Lời giải: Gọi H là trung điểm của AB ta có SH AB. Mặt khác (SAB ABC) nên SH ABC SH a 3. Đường thẳng SC tạo với đáy một góc 30°. Do đó HC SH HC a tan 30° ⇒ 3. Khi đó 2 2 BC HC HB a 2 2.
Do vậy 3 1 46 3 3 S ABCD ABCD a V SH S. Chọn A. Ví dụ 8: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật. Tam giác SAB vuông tại S và thuộc mặt phẳng đáy. Biết rằng SA = 3 và SB = 4, mặt phẳng (SCD) tạo với đáy một góc 60°. Thể tích khối chóp S.ABCD là? Lời giải: Dựng SH AB ta có (SAB ABC) nên SH ABC. Mặt khác 2 2 AB SA SB 5. Khi đó: 2 2 12 5 SA SB SH SA SB. Dựng HK CD ta có: CD SH CD SHK CD HK ⇒ Do đó SKH HK SH 60 tan 60 4 3 tan 60 5 SH HK AD. Vậy 1 16 3 3 5 V SH S S ABCD ABCD. Chọn D.