VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Tính góc giữa hai mặt phẳng, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.
Nội dung bài viết Tính góc giữa hai mặt phẳng:
Tính góc giữa hai mặt phẳng. Phương pháp. Khi hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến x, để xác định góc giữa chúng, ta chỉ việc xét một mặt phẳng (K) vuông góc với x lần lượt cắt (P) và (Q) theo các giao tuyến a và b. Lúc đó, góc giữa (P) và (Q) bằng góc giữa hai đường thẳng a và b. Để tìm góc giữa hai mặt phẳng (P) và (2) ta thường làm như sau: Xác định một điểm A trên (P), vẽ AH (0) (tại H). Vẽ H tại O. Góc (OA,OH) < 90° là góc cần tìm. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng. Ví dụ 1: Cho tứ diện SABC có ABC là tam giác đều cạnh 2a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng. Gọi a là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC). Kẻ đường cao AH của AABC, ta có: BCI AH, AH là hình chiếu của SH trên mặt phẳng (ABC) nên suy ra BCISH. Vậy a = SHA. Tam giác SHC vuông tại A có: SA = a, AH = a/3 (đường cao của tam giác đều ABC).
Ví dụ 2: Cho hình chóp đều S.ABC có ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA góc ở giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng. Xác định góc a. Gọi G là trọng tâm của AABC, ta có SG (ABC). Kẻ AM vuông góc BC thì trọng tâm G của AABC thuộc AM. GM là hình chiếu của SM trên mặt phẳng (ABC) nên BCISM. Suy ra góc cần tìm là a = SMG. Ta có: AM đường cao của tam giác đều ABC, cạnh a. Tam giác SMB vuông tại M. Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a/3. Gọi a là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABC”), thì cosa có giá trị bằng. Do ABC.A'B'C' là hình lăng trụ đều nên B và C là hình chiếu vuông góc của B và C trên (ABC). Tam giác ABC cân tại A. Gọi I là trung điểm của BC. Áp dụng công thức diện tích hình chiếu của đa giác.
Ví dụ 4: Cho hình chóp tam giác 0.ABC có OA, OB, OC vuông góc đôi một. Gọi a, B, Y là các góc tạo bởi mặt phẳng (ABC) với các mặt phẳng (DAB), (OBC), (OCA). Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên (ABC). Đặt OA = a, OA = b, OC = c và OH = h. Kéo dài CH cắt AB tại I, chứng minh được AB (OCI) và suy ra góc giữa (ABC) và (OAB) là OIC = a. Trong AOCI ta có: OIC = OH = a (góc có cạnh tương ứng vuông góc). Chú ý: Có thể chứng minh bài toán bằng cách dùng công thức diện tích hình chiếu như sau: Gọi S lần lượt là diện tích các tam giác ABC. Do OC (OAB) nên AOAB là hình chiếu vuông góc của AABC lên (OAB). Mặt khác AHAB là hình chiếu vuông góc của AOAB lên (ABC).
Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có tam giác ABC vuông cân tại B, AB = a. Để góc tạo bởi (AB'C) và (ABC) bằng 60° thì độ dài cạnh bên của lăng trụ bằng bao nhiêu? Gọi S là diện tích của AAB'C' và S’ là diện tích AABC. Từ giả thiết ta có. Từ tam giác ABB vuông tại B ta có. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, ABC = 60° , tam giác SBC là tam giác đều có bằng cạnh 2a và nằm trong mặt phẳng vuông với đáy. Gọi e là góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABC). Mệnh đề nào sau đây đúng? Gọi H là trung điểm của BC. Gọi K là trung điểm AC, suy ra HK // AB nên HK vuông góc AC. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên SA = a/3 và vuông góc với mặt đáy (ABC). Gọi e là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC). Mệnh đề nào sau đây đúng?