Tính góc giữa hai mặt bên

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Tính góc giữa hai mặt bên, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.

Nội dung bài viết Tính góc giữa hai mặt bên:
Dạng 2: Góc giữa hai mặt bên Phương pháp giải: Tính góc giữa hai mặt bên (SAC) và (SBC). Cách 1: Tính góc giữa 2 đường thẳng a và b lần lượt vuông góc với mặt phẳng (SAC) và (SBC). Cách 2: Dựng đường cao SH ABC. Lấy điểm M bất kỳ thuộc AC, dựng MN HC. Lại có: MN SH MN SHC MN SC. Dựng MK SC SC MKN (SAC SBC MK KN).
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), đáy ABC tam giác vuông tại B có AB a BC a 3. Biết a 6 SA 2 tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC). Lời giải: Dựng BH AC BH SAC BH SC. Dựng BH SC HKB SC (SBC SAC HKB). Ta có: 2 2 a 2 2 2 SA SB AB AC AB BC 2a. Khi đó 2 2 HK SA SA 1 a sin KCH HK HC SC SA AC 3 3.
Mặt khác: BA.BC a 3 BH BH tan HKB 3 AC 2 HK HKB 60. Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng 60°. Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a có ABC 60 SA ABC và SA a. Tính cosin góc giữa: a) (SBC) và (SCD). b) (SBC) và (SCD). Lời giải: a) Nhận xét ∆ABC là tam giác đều cạnh a vì AB BC a và ABC 60. Gọi O là tâm của hình thoi ABCD.
Ta có: BD AC BD SAC BD SC BD SA. Dựng BE SC SC BED. Mặt khác: SA AC a SAC ⇒ ∆ vuông cân tại A suy ra ECO 45. Khi đó a 2 OE OCsin 45 4. Lại có: a 3 OB OB tan BEO 6 2 OE. Do BED 2BEO sử dụng công thức lượng giác hoặc máy tính CASIO ta tính được 5 cos BED 7. Cách khác: Ta có: 222 2 2 14 EB ED BD 5 BE DE OE OB cos BED . 4 2.EB.ED 7. Suy ra 5 SBC SCD 7.
b) Dựng CM AD ta có: CM AD CM SAD CM SD CM SA. Dựng CK SD SD MKC. Tam giác ACD đều cạnh a nên a 3 CM. Do SA AD a SAD ⇒ ∆ vuông cân tại A suy ra SDM 45. Do đó a 2 MK MDsin 45 4. Suy ra CM 1 tan MKC 6 cos MKC MK 7. Vậy 1 cos SCD SAD 7. Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều cạnh a với AD 2a biết rằng SA ABCD và mặt phẳng (SCD) tạo với đáy một góc 45°. Tính cosin góc giữa 2 mặt phẳng (SCD) và (SBC).
Lời giải: Do AD 2a nên tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn đường kính AD 2a. Ta có: AC CD CD SAC CD SA. Suy ra (SCD ABCD SCA 45) 2 2 ⇒ SA AC 4a a a 3. Dựng AE SC AE SCD. Dựng AH BC AF SBC AF SH góc giữa 2 mặt phẳng (SCD) và (SBC) là góc giữa AE và AF. Ta có: SA AC a 6 AE SA AC 2 a 3 AH ACsin 30. Suy ra 2 2 SA.AH a 3 AF SA AH 5 do AF SBC AF FE. Do đó AF 10 cos FAE . AE 5.
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a AD a 3 cạnh bên SA ABCD. Biết mặt phẳng (SBC) tạo với mặt đáy một góc 60°. Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD). Lời giải: Do SA ABCD và BC AB BC SBA. Do đó SBC ABC SBA 60 AC 2a SA ABsin 60 a 3. Dựng DE AC (E BC) tại I mặt khác DE SA DE SAC DE SC. Dựng IH SC SC EHD. Ta có: DI DCsin ICD trong đó tan ICD 3 ICD 60.
Suy ra 2 a 3 DC 2a DI a sin 60. Suy ra 2 2 2a a 42 EH EI IH ED. Do đó 2 22 EH HD ED 2 2 cos EHD 0 cos SBC SCD. Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh a. Biết SA ABCD tính độ dài đoạn thẳng SA để góc giữa mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng 60°. Lời giải: Ta có: BD AC BD SAC BD SC BD SA. Kẻ BI SC SC BID. Vậy (SBC SCD BI ID 60).
Dễ thấy OI SC 1 . BIO BID. Trường hợp 1: BID 60 BIO 30. Ta có: BO a 6 a 2 tan BIO tan 30 OI OC IO 2 2 (vô lý). (OI là cạnh góc vuông, OC là cạnh huyền của tam giác vuông OIC). Trường hợp 2: BID 120 BIO 60. Ta có: BO a 6 tan BIO tan 60 OI. Mặt khác: sin ICO OI 3 tan ICO SA AC tan ICO a. Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều cạnh a với AB 2a biết rằng SA ABCD và SA a 3. Tính tan góc giữa 2 mặt phẳng (SAB) và (SCD).
Lời giải: Do ABCD là nửa lục giác đều cạnh a với AB 2a ⇒ ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AB. Do đó ABD 90. Gọi I AB CD SI SAB SCD. Do AI BD BD SAI BD SI. Dựng BK SI SI BKD. Khi đó (SAB SCD BK KD BKD). Do BD SAI BD BK KBD ⇒ ∆ vuông tại B có 2 2 BD AD AB a 3. Do BC AD 1 BC AD BC là đường trung bình trong tam giác AID AB BI và AI 2a 2 2 1 1 SA AI a 21 BD BK d A SI tan BKD 7.