Tính chất đường phân giác của tam giác

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 8 bài viết Tính chất đường phân giác của tam giác, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 8.

Nội dung bài viết Tính chất đường phân giác của tam giác:
A TÓM TẮT LÍ THUYẾT Định lí 1. Đường phân giác của một tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn thẳng ấy. AD là đường phân giác trong của góc A nên DB DC = AB AC. AE là đường phân giác ngoài của góc A nên EB EC = AB AC. C A E B D Ta có thể nói: Nếu tam giác ABC có AB AC = k thì đường phân giác trong của góc A chia đoạn thẳng BC theo tỉ số k, và nếu k 6= 1 thì đường phân giác ngoài của góc A cũng chia ngoài đoạn thẳng BC theo tỉ số k. VÍ DỤ 1. Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c, đường phân giác AD. 1 Tính độ dài BD, DC. 2 Tia phân giác của góc B cắt AD tại I. Tính tỉ số AI : ID. 3 Cho BC bằng trung bình cộng của AB và AC, gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
Chứng minh IG song song BC. LỜI GIẢI. 1 Vì AD là đường phân giác của 4ABC nên DB AB = DC AC = DB + DC AB + AC = a b + c. Vậy DB = ac b + c và DC = ab b + c. B I C G A DM b) Vì BI là đường phân giác của 4ABD nên AI ID = AB BD = c : ac b + c = b + c a. c) Ta có a = b + c 2 khi đó AI ID = 2. Mặt khác AG GM = 2, do đó IG k BC. B BÀI TẬP TỰ LUYỆN BÀI 219. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BD. Biết AD = 3 cm, DC = 5 cm. Tính độ dài AB, BC. LỜI GIẢI. Áp dụng định lý Py-ta-go ta có BC2 − AB2 = AC2 = 64. Vì BD là tia phân giác nên CB CD = AB AD suy ra CB2 CD2 = AB2 AD2 = CB2 − AB2 CD2 − AD2 = 64 16. Vậy CB = 8 · 5 4 = 10 cm và AB = 8 · 3 4 = 6 cm. C B A D BÀI 220. Cho tam giác ABC, đường phân giác AD. Điểm M thuộc cạnh AB, điểm N thuộc cạnh AC sao cho BM = BD, CN = CD. Chứng minh rằng MN song song với BC.
LỜI GIẢI. Vì AD là tia phân giác nên DB AB = DC AC. Mặt khác AM = 1 2 AB và AN = 1 2 AC nên AM AB = AN AC ⇒ MN k BC. B M C N A D BÀI 221. Cho tam giác ABC có AB = 4 cm, AC = 6 cm, đường phân giác AD. Điểm O chia trong AD theo tỉ số 2 : 1. Gọi K là giao điểm của BO và AC. Tính tỉ số AK : KC. LỜI GIẢI. Kẻ DE k BK (E ∈ AC). Ta có AK KC = AK KE · KE KC. Mặt khác AK KE = AO OD = 2. KE EC = BD DC = AB AC = 2 3 ⇒ KE KC = 2 5. Vậy AK KC = 4 5. B C K E A O D BÀI 222. Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Các tia phân giác của các góc AMB, AMC cắt AB và AC theo thứ tự ở D, E. Gọi I là giao điểm của AM và DE. 1 Chứng minh rằng DE song song với BC. 2 Cho BC = a, AM = m. Tính độ dài DE. 3 Điểm I chuyển động trên đường nào nếu tam giác ABC có BC cố định, đường trung tuyến AM bằng m không đổi? 4 Tam giác ABC có điều kiện gì để DE là đường trung bình của tam giác đó?
LỜI GIẢI. 1 Ta có DA DB = MA MB = MA MC = AE EC ⇒ DE k BC. 2 Ta có AMD + AME = 1 2 AMB + 1 2 AMC = 90◦. Đồng thời ID BM = AI AM = IE MC nên ID = IE. Do đó 4MDE vuông tại M nên MI = 1 2 DE. Mặt khác DE BC = AD AB = AI AM. Đặt DE = x thì x a = m − x 2 m ⇒ DE = x = 2am a + 2m. B D C E A I M c) Ta có MI = 1 2 DE = am a + 2m do đó I nằm trên đường tròn tâm M bán kính am a + 2m. d) DE là đường trung bình của 4ABC ⇔ AD = DB ⇔ MA = MB ⇔ 4ABC vuông tại A. BÀI 223. Trong tam giác ABC, đường phân giác AD chia cạnh đối diện thành các đoạn thẳng BD = 2 cm, DC = 4 cm. Đường trung trung trực của AD cắt đường thẳng BC ở K. Tính độ dài KD. LỜI GIẢI. Vẽ đường phân giác ngoài của góc A cắt BC tại E. Ta có EB EC = AB AC = DB DC = 1 2.
Suy ra EB = BC = 6 cm, ED = 8 cm. Vậy KD = ED 2 = 4 cm. C A E K B D BÀI 224. Cho tam giác ABC có AB = 8 cm, AC = 12 cm,BC = 10 cm. Gọi I là giao điểm của các đường phân giác, G là trọng tâm của tam giác ABC. 1 Chứng minh rằng IG k BC. 2 Tính độ dài IG. LỜI GIẢI. 1 Ta có DB AB = DC AC = DB + DC AB + AC = 10 20 = 1 2. Đồng thời IA ID = AB BD = 2 và GA GM = 2. Do đó IG k BC. 2 Ta có BD = 1 2 AB = 4 cm và BM = 1 2 BC = 5 cm suy ra DM = 1 cm. Vậy IG = 2 3 cm. B I C G A D M BÀI 225. Cho hình bình hành ABCD. Tia phân giác của góc BAD cắt BD ở M, tia phân giác của góc ABC cắt AC ở N. Chứng minh rằng MN k CD.
LỜI GIẢI. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Đặt AB = a, AD = b. Ta có DM MB = b a = DM DM + MB = b b + a. ⇒ DM 2DO = b b + a ⇒ DM DO = 2b b + a. Tương tự ta có CN CO = 2b b + a. Vậy DM DO = CN CO ⇒ MN k BC. B C A D N M O BÀI 226. Cho tam giác ABC có các đường phân giác BE, CF cắt nhau ở O và BO BE · CO CF = 1 2. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A. LỜI GIẢI. Đặt BC = a, AC = b, AB = c. Ta tính được CE = ab a + c, BO OE = a + c b, BO BE = a + c a + b + c. Tương tự CO CF = a + b a + b + c. Suy ra (a + c)(a + b) a + b + c = 1 2 ⇔ a 2 = b 2 + c 2. Do đó 4ABC vuông tại A.