Tính chất ba đường phân giác của tam giác

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 7 bài viết Tính chất ba đường phân giác của tam giác, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 7.

Nội dung bài viết Tính chất ba đường phân giác của tam giác:
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Đường phân giác của tam giác Ta có định nghĩa: Trong ∆ABC, tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại điểm M, khi đó đoạn thẳng AM được gọi là đường phân giác (xuất phát từ đỉnh A) của ∆ABC. Đôi khi, ta cũng gọi đường thẳng AM là đường phân giác của ∆ABC. Mỗi tam giác có ba đường phân giác. Chú ý: Chúng ta đã có được các kết quả: Trong tam giác cân đường phân giác xuất phát từ đỉnh thì cũng là đường cao, đường trung tuyến, đường trung trực của cạnh đáy. 2. Tính chất đường phân giác của tam giác Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó. Nhận xét: Từ kết quả trên ta suy ra được: Để tìm điểm I trong ∆ABC cách đề ba cạnh của tam giác, ta chỉ cần dựng hai tia phân giác của hai góc và khi đó giao điểm I của chúng là điểm cần tìm. Nếu hai đường phân giác góc B và C cắt nhau tại I thi AI chính là tia phân giác của góc A.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn đề 1: Chứng minh tính chất ba đường phân giác của tam giác VÍ DỤ 1. Chứng minh rằng ba đường phân giác của tam giác cùng đi qua một điểm. LỜI GIẢI. Xét tam giác ABC, gọi I là giao điểm của hai đường phân giác của hai góc B và Cb. Ta cần chứng minh I thuộc tia phân giác của góc Ab. Thật vậy, kẻ IH ⊥ AB, ID ⊥ BC, IK ⊥ AC, suy ra: IH = ID, vì I thuộc tia phân giác góc B, IK = ID, vì I thuộc tia phân giác góc Cb. Suy ra IH = IK ⇔ I là phân giác của góc Ab. Tức là, ba đường phân giác của ∆ABC cùng đi qua điểm I và ta có thêm IH = IK = ID, nghĩa là I cách đều ba cạnh của ∆ABC. A I B D C K H Vấn đề 2: Sử dụng tính chất ba đường phân giác của tam giác VÍ DỤ 1. Cho ∆ABC, các đường phân giác BK, CH cắt nhau tại I. Tính số đo của góc A biết BIC = 125◦. LỜI GIẢI. Vì BK, CH là các đường phân giác nên B 2 = 1 2 B 1, Cb2 = 1 2 Cb1 Trong ∆IBC, ta có: B 2+Cb2 = 180◦−BIC ⇔ 1 2 (B +Cb) = 180◦ = 55◦ ⇔ B +Cb = 110◦ Trong ∆ABC, ta có: Ab = 180◦ − (B + Cb) = 180◦ − 110◦ = 70◦.
Vậy ta có Ab = 70◦. 1 2 1 2 A I B C K H VÍ DỤ 2. Cho ∆ABC vuông tại A, có AB = 3 cm, B = 60◦. Tính độ dài đường phân giác BD. LỜI GIẢI. Đặt BD = x. Trong ∆ABD vuông tại A, ta có: B 1 = 30◦, vì B = 60◦ ⇔ AD = 1 2 BD = x 2. BD2 = AB2 + AD2 ⇔ x 2 = 9 + x 2 4 ⇔ x = 2√ 3. Vậy độ dài phân giác BD = 2√ 3 cm. 1 2 B A D C VÍ DỤ 3. Cho ∆ABC có Ab = 80◦, các đường phân giác BK, CH cắt nhau tại I. a. Nối IA, tính số đo góc BAI. b. Tính số đo góc BIC. LỜI GIẢI. 1 2 1 2 A I B C K H a. Ta thấy ngay IA là phân giác của góc Ab nên BAI = 1 2 Ab = 40◦. Vậy ta có BAI = 40◦. b. Trong ∆ABC, ta có B + Cb = 180◦ − Ab = 180◦ − 80◦ = 100◦. Vì BK, CH là các đường phân giác nên B 2 = 1 2 B, Cb2 = 1 2 Cb. Trong ∆IBC, ta có: BIC = 180◦ − (B 2 + Cb2) = 180◦ − 1 2 (B + Cb) = 180◦ − 1 2 100◦ = 130◦. Vậy ta có BIC = 130◦. VÍ DỤ 4. Cho ∆ABC, các đường phân giác BK, CH cắt nhau tại I. Chứng minh rằng BIC là góc tù.
LỜI GIẢI. Trong ∆ABC, ta có B +Cb = 180◦−Ab. Vì BK, CH là các đường phân giác nên B 2 = 1 2 B, Cb2 = 1 2 Cb. Trong ∆IBC, ta có: BIC = 180◦ − (B 2 + Cb2) = 180◦ − 1 2 (B + Cb) = 180◦ − 1 2 (180◦ − Ab) = 90◦ + Ab 2 90◦. Vậy ta có BIC là góc tù. 1 2 1 2 A I B C K H VÍ DỤ 5. Cho ∆ABC cân tại A. Gọi G là trọng tâm của tam giác, gọi I là giao điểm các đường phân giác của tam giác. Chứng minh rằng ba điểm A, G, I thẳng hàng. LỜI GIẢI. Ta có ngay: G thuộc trung tuyến AM. ∆ABC cân tại A nên AM là đường phân giác, do đó I thuộc AM. Vậy ba điểm A, G, I thẳng hàng. A B M C I G Nhận xét: Nếu ∆ABC là tam giác đều thì ba đường trung tuyến chính là ba đường phân giác, do đó trọng tâm G cách đều ba cạnh của tam giác. VÍ DỤ 6. Cho ∆ABC. Hai đường phân giác của hai góc B và Cb cắt nhau tại I.
Hai đường phân giác ngoài của hai góc B và Cb cắt nhau tại M. Chứng minh rằng A, I, M thẳng hàng. LỜI GIẢI. Từ giả thiết, hai đường phân giác của hai góc B và Cb cắt nhau tại I suy ra AI là tia phân giác của góc Ab. Ta đi chứng minh M thuộc tia phân giác của góc Ab. Thật vậy, kẻ MH ⊥ AB, MD ⊥ BC, MK ⊥ AC, suy ra MH = MD, vì M thuộc tia phân giác góc ngoài tại B, MK = MD, vì M thuộc tia phân giác góc ngoài tại C. Suy ra MH = MK ⇔ M thuộc tia phân giác của góc Ab. Vậy ba điểm A, I, M thẳng hàng. A D M C K B H VÍ DỤ 7. Cho ∆ABC. Hãy tìm điểm sao cho a. Khoảng cách từ nó đến các đường thẳng AB, BC, AC bằng nhau. b. Khoảng cách từ nó đến các đường thẳng AB, BC, CA bằng nhau và khoảng cách là ngắn nhất. LỜI GIẢI. a. Điểm I thỏa mãn điều kiện đầu bài, có thể là: Trường hợp 1: Điểm I là giao điểm ba đường phân giác của ∆ABC, khi đó theo tính chất thì khoảng cách từ I đến các đường thẳng AB, BC, CA bằng nhau.
Trường hợp 2: Dựa trên kết quả đã được chứng minh Cho ∆ABC. Hai đường phân giác của hai góc ngoài tại B và C và phân giác trong của góc Ab cùng đi qua một điểm, khi đó ta nhận được điểm I. Trường hợp 3: Tương tự, chúng ta nhận được điểm I2 là giao điểm của hai đường phân giác của hai góc ngoài tại C và A. A I B C K H A M B C Trường hợp 4: Tương tự, chúng ta nhận được điểm I3 là giao điểm của hai đường phân giác của hai góc ngoài tại A và B. Vậy ta tìm được 4 điểm I, I1, I2, I3 cách đều các đường thẳng AB, BC, AC. b. Khoảng cách từ I đến các đường thẳng AB, BC, AC bằng nhau và khoảng cách này là ngắn nhất. C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP.