Tính chất ba đường cao của tam giác

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 7 bài viết Tính chất ba đường cao của tam giác, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 7.

Nội dung bài viết Tính chất ba đường cao của tam giác:
A TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1. Đường cao của tam giác Định nghĩa 1. Trong một tam giác, đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi là đường cao của tam giác đó. Mỗi tam giác có ba đường cao. 4! Chú ý: Trong một tam giác cân đường cao thuộc cạnh đáy thì cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực. 2. Tính chất ba đường cao của tam giác Tính chất 1. Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó được gọi là trực tâm của tam giác. Nhận xét. Để xác định trực tâm H của 4ABC ta kẻ hai đường cao và khi đó giao điểm của chúng là trực tâm H. Nhận xét. Nếu H là trực tâm của 4ABC thì các tia AH, BH, CH sẽ vuông góc với cạnh đối diện.
3. Về đường cao, trung tuyến, trung trực, phân giác của tam giác cân Định lí 1. Trong một tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao cùng xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh đó. Nhận xét. Trong một tam giác, nếu hai trong bốn loại đường (đường trung tuyến, đường phân giác, đường cao cùng xuất phát từ một đỉnh và đường trung trực ứng với cạnh đối diện của đỉnh này) trùng nhau thì tam giác đó là tam giác cân. Tính chất 2. Tính chất cho tam giác đều: Trong một tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh là bốn điểm trùng nhau.
B CÁC DẠNG TOÁN VÍ DỤ 1. Cho 4ABC, trực tâm H. Tìm trực tâm của các tam giác 4ABH, 4ACH, 4BCH. LỜI GIẢI. Ta nhận thấy ngay: 4ABH nhận C là trực tâm. 4ACH nhận B là trực tâm. 4BCH nhận A là trực tâm. B M C A P H N VÍ DỤ 2. Cho 4ABC có AB = AC = 13 cm, BC = 10 cm. Tính độ dài đường cao AH. LỜI GIẢI. Từ giả thiết suy ra 4ABC cân tại A. Nên đường cao AH cũng là đường trung tuyến ⇒ HB = HC = 1 2 BC = 5 cm. Áp dụng định lí Py-Ta-Go vào 4ABH vuông tại H ta có: AH2 = AB2 − BH2 = 132 − 5 2 = 169 − 25 = 144 ⇒ AH = 12 cm. Vậy AH = 12 cm. B H C A VÍ DỤ 3. Cho 4ABC vuông tại A, đường cao AH. 1 Chứng minh rằng A là trực tâm của 4ABC. 2 Tìm trực tâm của các 4ABH, 4ACH. LỜI GIẢI. 1 Vì 4ABC vuông tại A nên: AB ⊥ AC ⇒ AB là một đường cao. AC ⊥ AB ⇒ AC là một đường cao.
Hai đường cao AB, AC cắt nhau tại A suy ra A là trực tâm của 4ABC. 2 Nhận xét rằng : 4ABH vuông tại H nên H chính là trực tâm của nó. 4ACH vuông tại H nên H chính là trực tâm của nó. A B H C Nhận xét. Nếu một tam giác có trực tâm trùng với một đỉnh thì tam giác đó là tam giác vuông. VÍ DỤ 4. Vẽ trực tâm 4ABC trong các trường hợp: 1 4ABC nhọn. 2 4ABC vuông tại A. 3 4ABC có A b 90◦. LỜI GIẢI. Ta có được các hình vẽ sau: 1 4ABC nhọn. B M C A N P H 2 4ABC vuông tại A. B M A C 3 4ABC có A b 90◦. B M C H N A P Nhận xét. Qua ví dụ trên, ta có nhận xét: 1 Nếu 4ABC nhọn thì trực tâm H ở bên trong 4ABC. 2 Nếu 4ABC vuông tại A thì trực tâm H trùng với điểm A. 3 Nếu 4ABC có A b 90◦ thì trực tâm H ở bên ngoài 4ABC. VÍ DỤ 5. Cho 4ABC, gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của BC, AC, AB.
Chứng tỏ rằng các đường cao của 4MNP là các đường trung trực của 4ABC. LỜI GIẢI. Với đường cao MM1 của 4MNP, ta có: MM1 ⊥ NP. Vì N, P theo thứ tự là trung điểm của AC, AB ⇒ NP k BC ⇒ MM1 ⊥ BC. Vậy MM1 là đường trung trực của 4ABC. Tương tự, ta cũng có NN1, P P1là đường trung trực của 4ABC. Vậy các đường cao của 4MNP là đường trung trực của 4ABC. M1 N1 P1 A P N B M C VÍ DỤ 6. Cho 4ABC cân tại A, gọi M là trung điểm của BC. Kẻ đường cao BN(N ∈ AC) cắt AM tại H. 1 Chứng minh rằng CH ⊥ AB. 2 Tính số đo các góc MBH và MHN biết Cb = 40◦. LỜI GIẢI. 1 Ta có AM ⊥ BC vì 4ABC cân tại A, mà AM ∩ BN = {H} suy ra H là trực tâm 4ABC, do đó BA ⊥ CH. 2 Trong 4CBN vuông tại N ta có CBN = 90◦ − BCN = 90◦ − 40◦ = 50◦. Vậy MBH = 50◦. Trong 4BHM vuông tại M ta có MHB = 90◦ − MBH = 90◦ − 50◦ = 40◦. Vậy MHN = 40◦ 40◦ B A H N M C VÍ DỤ 7. Cho 4ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E theo thứ tự là trung điểm của HC, HA.
Chứng minh rằng BE ⊥ AD. LỜI GIẢI. Vì D, E theo thứ tự là trung điểm của HC,HA suy ra: DE k AC. Kết hợp với AC ⊥ AB ta suy ra DE ⊥ AB. Trong 4ABD ta có AH ⊥ BD và DE ⊥ AB ⇒ E là trực tâm của 4ABD ⇒ BE ⊥ AD. A B H D C E VÍ DỤ 8. Cho 4ABC, có Ab = 45◦ và AC BC, đường cao CE. Trên tia đối của tia CE lấy điểm D sao cho EB = ED. Chứng minh rằng BC ⊥ AD. LỜI GIẢI. Gọi AC ∩ BD = {M}. Xét 4ADE vuông tại E ta có: EB = ED ⇔ 4BDE vuông cân tại E ⇒ EBD = 45◦. Suy ra : CAE + EBD = 45◦ + 45◦ = 90◦ ⇒ AM ⊥ BD. Trong tam giác 4ABD ta có AM ⊥ BD và DE ⊥ AB mà AM ∩ DE = {C} ⇒ C là trực tâm của 4ABD ⇒ BC ⊥ AD. 45◦ D M C A E B VÍ DỤ 9. Cho 4ABC, có Ab = 45◦ và trực tâm H. Chứng minh rằng BC = AH. LỜI GIẢI. Giải sử BH cắt AC tại E. Xét 4ABE vuông tại E ta có: BAE = 45◦ ⇒ ABE = 45◦ ⇒ 4ABE vuông cân tại E ⇒ AE = BE. Ta có EAH = EBC (cùng phụ với Cb). Xét hai tam giác vuông 4AEH và 4BEC ta có: EAH = EBC AE = BE AEH = BEC ⇒ 4AEH = 4BEC (g-c-g) ⇒ AH = BC. A H E B M C C BÀI TẬP TỰ LUYỆN.