Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số dựa vào bảng biến thiên

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số dựa vào bảng biến thiên, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số dựa vào bảng biến thiên:
Dạng 2: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số dựa vào bảng biến thiên Phương pháp giải: Bước 1: Dựa vào bảng biến thiên tìm tập xác định của hàm số. Bước 2: Quan sát bảng biến thiên để suy ra giới hạn khi x đến biên của miền xác định. Bước 3: Kết luận. Chú ý: Đồ thị hàm số f x y g x nhận đường thẳng x a là tiệm cận đứng khi hàm số xác định tại x a và n m f x x a hx y g x x a kx trong đó m n và hx kx không có nghiệm x = a. (Tức là số lần lặp lại nghiệm x = a của g x nhiều hơn số lần lặp lại nghiệm x = a của f x).
Ví dụ 1: [Đề thi tham khảo năm 2019] Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau: x −∞ 1 +∞ f(x) +∞ 5 2 3 Tổng số tiệm cận ngang và số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là A. 4. B. 1. C. 3. D. 2. Lời giải Ta có f x TCN y f x TCN y. Chọn C. Ví dụ 2: Cho hàm số y = f(x) là hàm số xác định trên 1, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau. Mệnh đề nào dưới đây đúng? x −∞ 0 1 +∞ y’ + 0 − + y 2 5 0 −∞ 3. A. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là y = 0, y = 5 và tiệm cận đứng là x = 1. B. Giá trị cực tiểu của hàm số là 3 CT y. C. Giá trị cực đại của hàm số là 5 CD y. D. Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.
Lời giải Do lim 0 lim 5 x x −∞ →+∞ nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là y = 0, y = 5 và tiệm cận đứng là x = 1. Chọn A. Ví dụ 3: [Đề thi tham khảo năm 2017] Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Hỏi đồ thị của hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận? x −∞ −2 0 +∞ y’ + − y +∞ 1 −∞ 0 A. 1 B. 3 C. 2 D. 4. Lời giải Dựa vào bảng biến thiên ta có là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Mặt khác: lim 0 0 x fx y +∞ ⇒ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Vậy đồ thị đã cho có 3 tiệm cận. Chọn B.
Ví dụ 4: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng và có bảng biến thiên như hình vẽ x −∞ −1 2 4 +∞ y’ + − 0 + − y 0 +∞ −∞ −3 1. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = f(x) là: A. 2 B. 3 C. 4 D. 5. Lời giải Dựa vào bảng biến thiên ta thấy 1 lim x f x −∞ và 4 lim x f x +∞ Do đó đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng là x x 1 4. Lại có: lim 1 1 x fx y +∞ ⇒ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Chọn B. Ví dụ 5: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây x −∞ −2 3 +∞ y’ + − 0 + y +∞ 4 +∞ 5 0. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = f(x) là: A. 2. B. 3. C. 4. D. 1.
Lời giải Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: lim 2 x y x +∞ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Lại có: lim 5 5 x y y −∞ ⇒ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Do đó đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận. Chọn A. Ví dụ 6: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên 1 có bảng biến thiên như hình vẽ. Tổng số đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) là x −∞ −1 1 +∞ y’ − 0 + + A. 1. B. 4. C. 2. D. 3. Lời giải Ta có: 1 lim 1 x fx x là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Lại có lim 1 lim 1 1 x x fx fx y là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Do đó đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận. Chọn D.
Ví dụ 7: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây x −∞ −1 1 +∞ y’ + + 0 – y +∞ 0 1 −∞ 3. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số 4 2 y f x là: A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. Lời giải Ta có phương trình f x −2 có 2 nghiệm phân biệt suy ra đồ thị hàm số 4 2 y f x có 2 đường tiệm cận đứng. Khi 4 4 4 3 2 xy y là một đường tiệm cận ngang. Khi 44 4 12 3 3 xy y là một đường tiệm cận ngang. Do đó đồ thị hàm số 4 2 y f x có 4 đường tiệm cận. Chọn C. Ví dụ 8: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây x −∞ −1 1 +∞ y’ + − 0 + y +∞ +∞ 5 5 3. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số 2 2018 y f x là: A. 4. B. 2. C. 5. D. 3.
Lời giải Ta có phương trình f x 2018 có 2 nghiệm phân biệt Suy ra đồ thị hàm số 2 2018 y f x có 2 đường tiệm cận đứng. Khi 2 2 5 2018 2013 x fx y f x. Khi 2 2 5 2018 2013 x fx f x. Vậy đồ thị hàm số 2 2018 y f x có 1 tiệm cận ngang. Chọn D. Ví dụ 9: Cho hàm số y = f(x) xác định trên R \ 1 và có bảng biến thiên như hình vẽ x −∞ 1 2 +∞ y’ + − 0 + y +∞ +∞ +∞ 2 1. Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 2 2 5 4 x y f x fx là: A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. Lời giải Ta có: Phương trình f x 4 có 3 nghiệm phân biệt khác 2. Phương trình f x 1 có 1 nghiệm kép x = 2 (do vậy mẫu số có dạng 2 x 2) nên x = 2 vẫn là TCĐ của đồ thị hàm số.
Suy ra đồ thị hàm số 2 2 5 4 x y f x fx có 4 đường tiệm cận đứng. Chọn B. Ví dụ 10: Cho hàm số y = f(x) xác định trên R 1 2 và có bảng biến thiên như hình vẽ x −∞ −1 1 2 +∞ y’ + − 0 + − y 9 0 5 2 −∞ −3 2. Biết số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = f(x) và 1 1 y f x lần lượt là m và n. Khi đó tổng m n bằng A. 6. B. 7. C. 4. D. 5. Lời giải Tiệm cận đồ thị y = f(x) : Ta có: lim 2 x y ∞ ⇒ đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận ngang (1) lim x y ⇒ đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng m 2. Mặt khác f x −1 có 2 nghiệm phân biệt và 1 1 limx ∞ f x 1 3 đồ thị hàm số 1 1 y f x có 1 đường tiệm cận ngang và 2 đường tiệm cận đứng. Vậy m n mn 2 3 5. Chọn D.