Tìm tham số m để hàm số đơn điệu

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Tìm tham số m để hàm số đơn điệu, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Tìm tham số m để hàm số đơn điệu:
Dạng toán 4. Tìm tham số m để hàm số đơn điệu. Dạng 4.1. Hàm bậc ba 3 2 y ax bx cx d a 0. Dạng 4.1.1. Hàm bậc ba 3 2 y ax bx cx d a 0 đơn điệu trên TXĐ. Phương pháp giải Bước 1. Tính f x. Bước 2. Thực hiện yêu cầu bài toán: Cách 01. Cách 02. Hàm số đồng biến trên thì 0 0 0 f a f x x. Hàm số nghịch biến trên thì 0 0 0 f a f x x.
Hàm số đồng/nghịch biến trên thì 2 b ac 3 0. Ví dụ 01. Tìm các giá trị của tham số để hàm số 3 2 y x x m x m 3 3 2 3 1 đồng biến trên. Lời giải Hàm số 3 2 y x x m x m 3 3 2 3 1 có tập xác định D. Hàm số đồng biến trên 2 y x 3 6 3 2 x m x. Vậy với m 2 3 2 3 thì hàm số đồng biến trên. Ví dụ 02. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 3 2 2 2 y x x m x m 3 3 1 3 1 nghịch biến trên.
Lời giải Hàm số luôn giảm trên 2 2 y x x m x 3 6 3 1 0. Vậy m 0 thì hàm số nghịch biến trên. Ví dụ 03. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số 1 3 2 3 3 2 3 3 y m x m x m x đồng biến trên. Lời giải Hàm số 1 3 2 3 3 2 3 3 y m x m x m x có tập xác định D. Xét 2 a m m y x x 3 0 3 6 5 3 là hàm số bậc hai lúc tăng lúc giảm khi xét trên m 3 loại.
Xét a m m 3 0 3. Hàm số đồng biến trên 2 y x 3 2 3 2 m x m m x. Vậy với 3 1 2 m thì hàm số đồng biến trên. Dạng 4.1.2. Hàm bậc ba 3 2 y ax bx cx d a 0 đơn điệu trên khoảng a b. Phương pháp 1: Khi f x 0 nhẩm được nghiệm. Bước 1. Tính f x. Bước 2. Giải 1 2 0 x x. Bước 3. Lập bảng xét dấu, xác định các khoảng đơn điệu của hàm số. Bước 4. Từ bảng xét dấu, giả sử điều kiện để hàm số đơn điệu (đồng biến hoặc nghịch biến theo yêu cầu bài toán) là D.
Bước 5. Để hàm số đơn điệu trên K là K D. Phương pháp 2. (Khi f x 0 không nhẩm được nghiệm). Bước 1. Tính f x. Bước 2. Cô lập m đưa về một trong các dạng sau: max K m g x x K m g x min K m g x x K m g x. Chú ý: Trong trường hợp không có giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất thì ta có thể xét đến cận trên đúng hoặc cận dưới đúng của g x và dấu cần xem xét cẩn thận. Ví dụ 01. Tìm m để hàm số 3 2 y x x mx 3 3 1 nghịch biến trên khoảng.
Lời giải Tập xác định của hàm số D. Ta có 2 y x x m 3 6 3 Hàm số 3 2 y x x mx 3 3 1 nghịch biến trên Hay 6 3 0 0 2 x x m x m x (1) Xét hàm số 2 f x 2 trên có f x Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta có (1) m 1. Vậy với m 1 thì hàm số đã cho nghịch biến trên Ví dụ 02. Tìm m để hàm số 3 y x m x m x đồng biến trên khoảng 0 3. Lời giải Tập xác định của hàm số D. Ta có 2 y x m x m 1 3 Hàm số đồng biến trên nửa khoảng 0 3 khi và chỉ khi hàm số y x 0 0 3.
Hay x m x m x m x x x x 1 3 0 0 3 2 1 2 3 0 3 (1). Trên 0 3 ta có 2 1 0 x nên ta có 2 2 3 x x. Xét hàm số 2 2 3 trên 0 3. Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta có (2) 12 7 m. Vậy với 12 7 m hàm số đã cho luôn đồng biến trên 0 3. Ví dụ 03. Tìm m để hàm số 3 2 2 y x m x m m x 2 1 2 1 đồng biến trên khoảng 0. Lời giải Tập xác định của hàm số D. Ta có 2 y x m x m m 3 2 2 1 2. Với m 1 ta có y x 0 hàm số luôn đồng biến trên nên hàm số đồng biến trên khoảng 0. Do đó m 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.