VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 8 bài viết Tìm tập hợp điểm, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 8.
Nội dung bài viết Tìm tập hợp điểm:
Bài toán tìm tập hợp điểm (còn gọi là quỹ tích) được chính thức giới thiệu ở lớp 9. Tuy nhiên, học sinh khá và giỏi có thể làm quen với dạng toán này ngay từ lớp 8 với các kiến thức thuộc chương trình Hình học lớp 7 và lớp 8. A HAI TẬP HỢP BẰNG NHAU Định nghĩa 1. Tập hợp các điểm cách một đường thẳng xy cố định một khoảng bằng h không đổi (gọi là tập hợp A) là hai đường thẳng song song với xy và cách xy một khoảng bằng h (gọi là tập hợp B). Hai tập hợp A và B nói trên được gọi là hai tập hợp bằng nhau. Nghĩa là A = B ⇔ (∀x ∈ A ⇒ x ∈ B ∀x ∈ B ⇒ x ∈ A. Do đó muốn chứng tỏ hai tập hợp điểm A và B bằng nhau, ta phải chứng minh hai điều: Nếu M là một điểm bất kì thuộc A thì M cũng thuộc B. (1) Nếu M là một điểm bất kì thuộc B thì M cũng thuộc A. (2) Điều (1) chứng tỏ rằng tập hợp B chứa tập hợp A, điều (2) chứng tỏ rằng tập hợp A chứa tập hợp B. Phải chứng minh cả hhai điều trên mới kết luận được A và B là hai tập hợp bằng nhau. Do đó bài toán “Tìm tập hợp các điểm có chung một tính chất α nào đó” được trình bày theo ba phần: Phần 1. Chứng minh rằng nếu điểm M có tính chất α thì điểm M thuộc hình H nào đó.
Phần 2. Chứng minh rằng nếu điểm M thuộc hình H thì điểm M có tính chất α. Phần 3. Kết luận rằng tập hợp các điểm M có tính chất α là hình H. 4! Chú ý: Phần 2 là phần đảo của phần 1, do đó nếu gọi phần 1 là phần thuận thì phần 2 là phần đảo. Theo phần thuận, hình H chứa mọi điểm có tính chất α, không chứa thiếu điểm nào. Theo phần đảo, hình H chỉ chứa những điểm có tính chất α, không chứa thừa những điểm nào khác. Như vậy, hình H gồm và chỉ gồm tất cả những điểm có tính chất α. B CÁC TẬP HỢP ĐIỂM ĐÃ HỌC Khi giải bài toán về tập hợp điểm, cần nhớ lại ba tập hợp điểm đã học ở lớp 7 và một tập hợp điểm đã học ở lớp 8. Tập hợp các điểm cách một điểm O cố định một khoảng R không đổi là đường tròn tâm O, bán kính R. Tập hợp các điểm cách đều hai đầu của một đoạn thẳng cố định là đường trung trực của đoạn thẳng ấy. Tập hợp các điểm thuộc miền trong một góc cố định và cách đều hai cạnh của nó là tia phân giác của góc ấy. Tập hợp các điểm cách một đường thẳng xy cố định một khoảng bằng h không đổi là hai đường thẳng song song với xy và cách xy một khoảng bằng h. C VÍ DỤ VÍ DỤ 1. Cho đường tròn tâm O cố định, bán kính 4 cm, điểm A cố định trên đường tròn, điểm B chuyển động trên đường tròn. Tìm tập hợp các trung điểm M của AB.
LỜI GIẢI. Phần thuận. (h.31a) Gọi I là trung điểm AO thì I là điểm cố định. IM là đường trung bình của tam giác AOB nên IM = OB 2 = 2 cm. Điểm M luôn cách điểm I cố định 2 cm nên M thuộc đường tròn tâm I bán kính 2 cm. B M I A O a) B M I A O b) Hình 31 Phần đảo. (h.31b) Lấy điểm M bất kì thuộc đường tròn (I, 2 cm), M khác A. Ta sẽ chứng minh rằng M là trung điểm của một đoạn thẳng nào đó có một đầu là A và một đầu thuộc đường tròn (O). Thật vậy, gọi B là giao điểm của AM và (O), tam giác IAM cân nên IAM’ = IMA ’, 4OAB cân nên OAB ’ = B“, suy ra IMA ’ = B“, do đó IM k OB. Tam giác OAB có OI = IA, IM k OB nên AM = MB. Kết luận. Khi điểm B chuyển động trên (O), tập hợp các trung điểm M của AB là đường tròn (I, 2 cm), trừ điểm A. VÍ DỤ 2. Cho góc vuông xOy cố định, điểm A cố định trên tia Oy, điểm B chuyển động trên tia Ox. Tìm tập hợp các trung điểm M của AB. LỜI GIẢI. Cách 1. (h.32) Phần thuận. OM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông OAB nên OM = AB 2 mà MA = AB 2, suy ra MA = MO. Điểm M cách đều hai điểm O và A cố định nên M thuộc đường trung trực của OA. M H m A O B y x Hình 32 Giới hạn. Vì đoạn thẳng AB chỉ thuộc miền trong góc vuông xOy nên điểm M nằm trên tia Hm thuộc đường trung trực của OA và thuộc miền trong góc xOy.
Phần đảo. Lấy điểm M bất kì thuộc tia Hm thì MO = MA (1) ⇒ MAO = MOA (2) Gọi B là giao điểm của AM và Ox. Ta có MBO + MAO = 90◦, MOB + MOA = 90◦ (3) nên từ (2) và (3) suy ra MBO = MOB. Do đó MO = MB (4) Từ (1), (4) suy ra MA = MB, do đó M là trung điểm của AB. Kết luận. Khi điểm B chuyển động trên tia Ox thì tập hợp các trung điểm M của AB là tia Hm thuộc đường trung trực của OA và thuộc miền trong góc xOy. Cách 2. (h.33) Phần thuận. Đặt OA = h (không đổi). Vẽ MK ⊥ Ox. Tam giác AOB có AM = MB, MK k AO nên MK = AO 2 = h 2. Điểm M cách Ox cố định một khoảng không đổi h 2 nên M thuộc đường thẳng song song với Ox, cách Ox một khoảng h 2. M H K m A O M B y x Hình 33 Giới hạn. Vì M chỉ thuộc miền trong góc vuông xOy nên M nằm trên tia Hm thuộc đường thẳng song song nói trên. Phần đảo. Lấy điểm M bất kì thuộc tia Hm. Gọi B là giao điểm của AM và Ox. Tam giác AOB có AH = HO = h 2, HM k OB nên M là trung điểm AB. Kết luận. Khi điểm B chuyển động trên tia Ox, tập hợp các trung điểm M của AB là tia Hm thuộc đường thẳng song song với tia Ox, cách tia Ox một khoảng h 2 và thuộc miền trong góc xOy.
D THỨ TỰ NGHIÊN CỨU VÀ TRÌNH BÀY LỜI GIẢI BÀI TOÁN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM 1. Tìm hiểu đề bài Phân biệt các yếu tố cố định yếu tố không đổi, quan hệ không đổi, yếu tố chuyển động (bao gồm điểm chuyển động đã biết vị trí và điểm chuyển động phải xác định vị trí). 4! Chẳng hạn trong ví dụ 24 thì: – Yếu tố cố định: góc vuông xOy, điểm A. – Yếu tố không đổi: độ dài AO = h. – Quan hệ không đổi: MA = MB – Yếu tố chuyển động: Điểm B chuyển động trên tia Ox, điểm M đang cần xác định vị trí. 2. Dự đoán tập hợp điểm Để dự đoán tập hợp điểm phải tìm, ta thường vẽ chính xác vài vị trí của điểm đó (ít nhất là ba vị trí) rồi bằng trực giác đoán nhận điểm đó chuyển động trên hình nào. 4! Khi dự đoán tập hợp điểm, nên chú ý đến: – Điểm đặc biệt: Trong ví dụ 23, khi B ở vị trí đối xứng với A qua O thì M ở vị trí O vậy O là một điểm của tập hợp phải tìm. – Trong ví dụ 24, khi B ở vị trí O thì M ở vị trí H, trung điểm của AO, điểm H là một điểm của tập hợp phải tìm. – Vị trí giới hạn: Trong ví dụ 23, khi B tiến đến A thì M tiến đến A, điểm A là vị trí giới hạn của tập hợp phải tìm. – Điểm vô tận: Trong ví dụ 24, khi B chuyển động xa điểm O vô tận trên tia Ox thì M cũng chuyển động xa vô tận. Như vậy, M không thể chuyển động trên đường tròn. – Tính đối xứng: Trong ví dụ 23, chuyển động của điểm M có tính đối xứng qua đường thẳng cố định AO nên tập hợp điểm phải tìm nhận OA làm trục đối xứng.