VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 9 bài viết Tìm quỹ tích các điểm M tạo thành với hai mút của đoạn thẳng AB cho trước một góc AMB có số đo không đổi bằng α, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 9.
Nội dung bài viết Tìm quỹ tích các điểm M tạo thành với hai mút của đoạn thẳng AB cho trước một góc AMB có số đo không đổi bằng α:
Phương pháp giải: Phương pháp Để đơn giản, trước hết ta chỉ xét một nửa mặt phẳng có bờ AB. Phần thuận: Gọi M là một điểm thuộc nửa mặt phẳng đang xét thoả mãn AMB = α. Vạch đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác 4MBA, thì mọi điểm N nằm trên cung AB chứa đỉnh M của góc AMB, ta kí hiệu là AmB (cung còn lại kí hiệu là AnB) luôn có: ANB = AMB = α. Ta cần đi chứng minh đường tròn (O) là xác định không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. Thật vậy, trong nửa mặt phẳng đối của nửa mặt phẳng đang xét dựng tia Ax sao cho xAB = α, suy ra Ax là tiếp tuyến của đường tròn (O) ⇒ Ax ⊥ AO. Vậy, tâm là giao điểm của đường trung trực AB với tia Ay vuông góc với Ax. B M A O x α m Phần đảo: Với điểm M bất kì thuộc cung AmB, ta có: AMB = xAB = α. Trên mặt phẳng đối của nửa mặt phẳng đang xét, ta có một cung đối xứng đối với cung AmB qua AB. Giới hạn: Khi M trùng với A thì góc AMB được thay bởi xAB. Khi M trùng với B thì góc AMB được thay bởi ABx. Kết luận: Quỹ tích các điểm M tạo thành với hai nút của đoạn thẳng AB cho trước một góc AMB có số đo không đổi bằng α (0◦ < α < 180◦), là hai cung tròn đối xứng nhau qua AB gọi là cung chứa góc α dựng trên đoạn thẳng AB. A B M M α α Nhận xét. Ta có: 1 Hai điểm A và B được coi là thuộc quỹ tích, vì: Khi M trùng với A thì góc AMB được thay bởi xAB.
Khi M trùng với B thì góc AMB được thay bởi ABx. 2 Quỹ tích các điểm M tạo thành với hai mút của đoạn thẳng AB cho trước một góc vuông là đường tròn đường kính AB. VÍ DỤ 1 (Bài 44/tr 86 - Sgk). Cho 4ABC vuông ở A, có cạnh BC cố định. Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác trong. Tìm quỹ tích I khi A thay đổi. LỜI GIẢI. Phần thuận: Ta có BIC = 180◦ − IBC + ICB = 180◦ − Ç B 2 + Cb 2 å = 180◦ − 1 2 B + Cb = 180◦ − 90◦ 2 = 135◦. Vì B, C cố định, A thay đổi, I luôn nhìn cạnh BC dưới một góc 135◦ nên I di chuyển trên cung chứa góc 135◦ dựng trên BC. Phần đảo: Lấy điểm I là giao của cung chứa góc 135◦ dựng trên BC và tia phân giác trong góc ACB, ta chứng minh I cũng thuộc tia phân giác trong của góc ABC. A I B C Xét tam giác IBC, ta có BIC + ICB + IBC = 180◦ ⇔ 135◦ + 1 2 · ACB + IBC = 180◦ ⇔ 1 2 · 90◦ − ABC + IBC = 45◦ ⇔ ABC = 2 · IBC Nên BI là phân giác trong của 4ABC. Hay I là tâm đường tròn nội tiếp 4ABC (I là giao điểm của ba đường phân giác trong). Giới hạn: Khi I ≡ B thì ba điểm A, B, C thẳng hàng (trái giả thiết). Khi I ≡ C thì ba điểm A, B, C thẳng hàng (trái giả thiết).
Vậy Quỹ tích điểm I là cung chứa góc 135◦ dựng trên cạnh BC đối xứng nhau qua BC, bỏ đi điểm B và C. Kết luận: Quỹ tích điểm I là cung chứa góc 135◦ dựng trên cạnh BC đối xứng nhau qua BC, bỏ đi điểm B và C. VÍ DỤ 2 (Bài 48/tr 87 - Sgk). Cho hai điểm A, B cố định. Từ A vẽ các tiếp tuyến với đường tròn tâm B có bán kính không lớn hơn AB. Tìm quỹ tích các tiếp điểm. LỜI GIẢI. Phần thuận: Theo tính chất của tiếp tuyến ta có: AT ⊥ BT Do đó, A, B cố định. T nhìn AB dưới một góc vuông nên T di chuyển trên đường tròn đường kính AB. Phần đảo: Lấy điểm T thuộc đường tròn đường kính AB. Khi đó AT ⊥ BT tại T nên AT là tiếp tuyến của đường tròn tâm B, bán kính BT ≤ AB. Giới hạn: Khi T ≡ B thì bán kính đường tròn tâm B thoả yêu cầu đề bài là 0 (vô lý). Khi T ≡ A thì bán kính đường tròn tâm B thoả yêu cầu đề bài là AB. Vậy quỹ tích tiếp điểm T là đường tròn đường kính AB bỏ đi điểm B. Kết luận: Quỹ tích tiếp điểm T là đường tròn đường kính AB bỏ đi điểm B. A B T VÍ DỤ 3. Xét các 4ABC có BC = 6 cm, cố định, Ab = 120◦. 1 Tìm quỹ tích các điểm A 2 Điểm A ở vị trí nào thì 4ABC có diện tích lớn nhất?
Tính giá trị lớn nhất đó. LỜI GIẢI. 1 Ta thực hiện theo các phần: Phần thuận: Do BC cố định, BAC = 120◦ nên A di chuyển trên hai cung chứa góc 120◦ dựng trên BC. Phần đảo: Lấy điểm A thuộc cung chứa góc 120◦ dựng trên BC, ta thấy ngay BAC = 120◦. Giới hạn: Khi A trùng với B, C thì ba điểm A, B, C thẳng hàng (trái giả thiết). Vậy quỹ tích các điểm A là hai cung chứa góc 120◦ dựng trên đoạn BC, bỏ đi điểm B, C. Kết luận: Quỹ tích các điểm A là hai cung chứa góc 120◦ dựng trên đoạn BC, bỏ đi điểm B, C. A B C 2 Hạ AH vuông góc với BC, ta có ngay: S4ABC = 1 2 · AH · BC Do đó, S4ABC có giá trị nhỏ nhất khi AH lớn nhất ⇔ A là điểm ở chính giữa cung chứa góc. Khi đó, xét 4ABH vuông tại H, ta có BAH = 60◦ ⇒ ABH = 30◦ ⇒ AB = 2AH Xét tam giác ABH ta có AB2 = AH2 + BH2 ⇔ (2AH) 2 = AH2 + Å BC 2 ⇔ 3AH2 = 9 ⇔ AH = √3. Do đó S4ABC = 1 2 √3 · 6 = 3√3 cm2. A B C H Nhận xét. Trong ví dụ trên, việc chỉ ra quỹ tích của điểm A được suy ra ngay từ giả thiết, do dó các bước thực hiện là rất đơn giản. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp chúng ta cần chỉ ra được cung chứa góc trong hình vẽ.
VÍ DỤ 4. Cho nửa đường tròn đường kính AB và cung EF của nửa đường tròn (E nằm trên cung AF sao cho sđ EF˜ = 60◦. Hai tia AE và BF cắt nhau tại M. Tìm quỹ tích các điểm M khi cung EF˜ chuyển động trên nửa đường tròn. LỜI GIẢI. Phần thuận: Giả sử có điểm M sao cho EF˜ = 60◦, ta có: AMB = sđ AB˜ − sđ EF˜ 2 = 180◦ − 60◦ 2 = 60◦. Vậy điểm M nằm trên cung chứa góc 60◦ dựng trên đoạn thẳng AB (cung này thuộc mặt phẳng bờ AB có chứa nửa đường tròn cho trước). Giới hạn: Ta có: Nếu E ≡ A ⇒ M ≡ M0, với M0 là giao điểm của cung chứa góc với tiếp tuyến Ax của nửa đường tròn đường kính AB. Nếu F ≡ B ⇒ M ≡ M1, với M1 là giao điểm của cung chứa góc với tiếp tuyến By của nửa đường tròn đường kính AB. Do đó, điểm M chỉ nằm trên cung M˙0M1. A B M E F x y M0 M1 Phần đảo: Lấy điểm M nằm trên cung M˙0M1. Nối MA, MB cắt nửa đường tròn đường kính AB lần lượt tại E và F. Ta phải chứng minh số đo EF˜ = 60◦. Thật vậy: AMB ˙= sđ AB˜ − sđ EF˜ 2 ⇒ sđ EF˜ = sđ AB˜ − 2AMB = 180◦ − 2 · 60◦ = 60◦. Kết luận: Quỹ tích các điểm M là cung M˙0M1 của cung chứa góc 60◦ dựng trên đoạn thẳng AB (cung này thuộc nửa mặt phẳng bờ AB có chứa nửa đường tròn đã cho). Nhận xét. Phương pháp giải bài toán trên được tổng quát cho yêu cầu sđ EF˜ = α, với 0 ◦ < α < 180◦.