Tìm nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Tìm nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Tìm nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần:
Tìm nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần. Phương pháp giải. Với u và v là các hàm số có đạo hàm trên khoảng K thì ta có: Viết dưới dạng vi phân d. Khi đó lấy nguyên hàm hai vế. Từ đó suy ra công thức (1) là công thức nguyên hàm từng phần. Dấu hiệu nhận biết phải sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần. Bài toán: Tìm I, trong đó u và v là hai hàm có tính chất khác nhau, chẳng hạn: u là hàm số đa thức, v là hàm số lượng giác. u là hàm số đa thức, v là hàm số mũ. u là hàm số logarit, v là hàm số đa thức. u là hàm số mũ, v là hàm số lượng giác. Phương pháp nguyên hàm từng phần: Bước 1: Đặt u. Bước 2: Áp dụng công thức (1), ta được: udv. Lưu ý: Đặt u (ưu tiên) theo thứ tự: “Nhất lốc, nhì đa, tam lượng, tứ mũ”. Tức là, nếu có logarit thì ưu tiên đặt u là logarit, không có logarit thì ưu tiên u là đa thức, thứ tự ưu tiên sắp xếp như thế. Còn đối với nguyên hàm v ta chỉ cần chọn một hằng số thích hợp. Điều này sẽ được làm rõ qua các bài tập minh họa ở cột bên phải.
Bài tập 1. Kết quả nguyên hàm I là: Chú ý: Thông thường thì với x trong trường hợp này, ta để ý mang lại sự hiệu quả. Ở Bài tập này, Chọn v có thể rút gọn được ngay tử và mẫu trong nguyên hàm. Bài tập 3. Kết quả nguyên hàm là: Phân tích: Ở đây ta sẽ ưu tiên 2 u, x là đa thức, tuy nhiên vì bậc của u là 2 nên ta sẽ từng phần hai lần mới thu được kết quả. Nhằm tiết kiệm thời gian, tôi gợi ý với phương pháp “sơ đồ đường chéo” cụ thể như sau: Bước 1: Chia thành 3 cột: Cột 1: Cột u luôn lấy đạo hàm đến 0. Cột 2: Dùng để ghi rõ dấu của các phép toán đường chéo. Cột 3: Cột dv luôn lấy nguyên hàm đến khi tương ứng với cột 1. Bước 2: Nhân chéo kết quả của 2 cột với nhau. Dấu của phép nhân đầu tiên sẽ có dấu (+), sau đó đan dấu (-), (+), (-), … rồi cộng các tích lại với nhau.
Chú ý: Kĩ thuật này rất đơn giản và tiết kiệm nhiều thời gian. Trong kĩ thuật tìm nguyên hàm theo sơ đồ đường chéo, yêu cầu độc giả cần tính toán chính xác đạo hàm và nguyên hàm ở hai cột 1 và 3. Nếu nhầm lẫn thì rất đáng tiếc. Nếu làm thông thường thì từng phần 4 lần ta mới thu được kết quả. Ở đây, chúng tôi trình bày theo sơ đồ đường chéo cho kết quả và nhanh chóng hơn. Phân tích: Sự tồn tại của hàm số mũ và lượng giác trong cùng một nguyên hàm sẽ rất dễ gây cho người học sự nhầm lẫn, nếu ta sẽ không biết điểm dừng thì có thể sẽ bị lạc vào vòng luẩn quẩn. Ở đây, để tìm được kết quả thì ta phải từng phần hai lần như trong bài tập 3. Tuy nhiên, với sơ đồ đường chéo thì sao? Khi nào sẽ dừng lại? Chú ý: Chỉ dừng lại khi đạo hàm của nó có dạng giống dòng đầu tiên. Bài tập 6. Tìm trong đó v là hàm đa thức. Phân tích: Vì ưu tiên và tiếp tục đạo hàm thì cột 1 sẽ không về 0 được, vì vậy phải chuyển lượng từ cột 1 sang nhân với v ở cột 3 để rút gọn bớt, tiếp tục quá trình như thế cho đến khi đạo hàm cột 1 về 0, và chú ý sử dụng quy tắc đan dấu bình thường.