Tìm hình chiếu vuông góc của điểm trên đường thẳng hoặc mặt phẳng

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Tìm hình chiếu vuông góc của điểm trên đường thẳng hoặc mặt phẳng, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Tìm hình chiếu vuông góc của điểm trên đường thẳng hoặc mặt phẳng:
Dạng 1: Tìm hình chiếu vuông góc của điểm trên đường thẳng hoặc mặt phẳng Phương pháp giải: Loại 1: Tìm hình chiếu vuông góc H của điểm A lên đường thẳng ∆. Tham số hóa điểm H AH ∈ ∆. Do AH H u 0 ∆ ⇒ Α = ∆ giải phương trình tìm giá trị của tham số, từ đó suy ra tọa độ của điểm H. Chú ý: Nếu A′ là điểm đối xứng của A qua đường thẳng ∆ thì H là trung điểm của AA′. Từ công thức trung điểm suy ra tọa độ của điểm A′.
Loại 2: Tìm hình chiếu vuông góc H của điểm A lên mặt phẳng (P). Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P), khi đó d P u n từ đó ta viết được phương trình đường thẳng d suy ra Hd P. Chú ý: Nếu A′ là điểm đối xứng của A qua mặt phẳng (P) thì H là trung điểm của AA′. Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 1 2 2 12 ∆ xy z. Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A(2;-3;1) lên đường thẳng ∆.
Lời giải: Gọi H t t t AH t t t. Cho Α ⇔ Hu t t 0 2 3. Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có A CD. Tìm tọa độ chân đường cao hạ từ đỉnh D của tứ diện. Lời giải: PT mặt phẳng (ABC) 😡 y z 1 0 phương trình đường thẳng qua D và vuông góc với (ABC) có vectơ chỉ phương là d P x yz un d ABC. Gọi H t t td 2 1 1.
Do HP t t 2 1 1 10 1. Vậy H (−1;2;0). Ví dụ 3: Hình chiếu vuông góc của M (2;0;0) lên đường thẳng 3 1 x t y t z t có tọa độ là: A. (−2;2;1) . B. (−2;0;0) . C. (2;1;-1). D. (1;2;-1). Lời giải: Gọi H t t t MH t t t u. Cho MH u t t t H 0 2 3 1 0 2 2. Chọn C. Ví dụ 4: Hình chiếu vuông góc của M (1;4;2)lên mặt phẳng (α) : x y z 1 0 có tọa độ là?
Lời giải: Phương trình đường thẳng qua M vuông góc với (α)là: 142 111 xy z d H d (α), gọi H t d t t H (1;2;0). Chọn A. Ví dụ 5: Cho mặt phẳng (α) : x 3 y z 27 0. Điểm đối xứng với điểm M (2;1;0) qua mặt phẳng (α) có tọa độ là? Lời giải: Phương trình đường thẳng qua M vuông góc với (α)là: 2 1 1 31 xyz d Hd H (α) (4;7;-2) là trung điểm của MM M (6;13;-4). Chọn D.
Ví dụ 6: Điểm đối xứng với điểm A(1;-2;-5) qua đường thẳng 1 2 2 x t dy t z t có tọa độ là? Lời giải: Gọi A′ là điểm đối xứng quả A qua d. Gọi H t t ta có: AH t t. Cho Α Hu t t. Chọn C. Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ABC. Tọa độ chân đường cao hạ từ đỉnh A của tam giác ABC là? Lời giải: Ta có: BC u = BC = (1;1;1). Phương trình đường thẳng BC là BC : 1 2 x t y t z t. Gọi H t BC ta có: AH t t. Chọn B.