Tìm điều kiện để hàm số bậc ba đạt cực trị (hoặc đạt cực tiểu hoặc đạt cực đại) tại điểm x = x0

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Tìm điều kiện để hàm số bậc ba đạt cực trị (hoặc đạt cực tiểu hoặc đạt cực đại) tại điểm x = x0, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Tìm điều kiện để hàm số bậc ba đạt cực trị (hoặc đạt cực tiểu hoặc đạt cực đại) tại điểm x = x0:
Loại 2: Tìm điều kiện để hàm số bậc ba đạt cực trị (hoặc đạt cực tiểu hoặc đạt cực đại) tại điểm 0 x x. Phương pháp giải: Bài toán 1: Tìm m để hàm số đạt cực trị tại điểm 0 x x. Điều kiện để hàm số đạt cực trị tại điểm 0 y x x y x ∆. Bài toán 2: Tìm m để hàm số đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại điểm 0 x x. Hàm số đạt cực trị tại điểm 0 x ta suy ra y x giải phương trình tìm giá trị của tham số m. Với giá trị của tham số m tìm được ta tính y x để tìm tính chất của điểm cực trị và kết luận.
Ví dụ 1: Cho hàm số 3 2 y x x mx 2 2. Giá trị của m để hàm số đạt cực trị tại điểm x = 2 là A. m = −4. B. m = 4. C. m = 2. D. Không tồn tại m. Lời giải Ta có: 2 y x xm 3 4. Hàm số đạt cực trị tại điểm 4 3 0 2 4 y m x m y m ∆. Chọn A. Ví dụ 2: Cho hàm số 1 3 2 2. 3 y x x mx. Giá trị của m để hàm số đạt cực trị tại điểm x = −1 là A. m = −2. B. m = −1. C. m = 1. D. Không tồn tại m. Lời giải Ta có: 2 y x xm 2. Hàm số đạt cực trị tại điểm 1 1 0 y m x m ∆. Chọn D.
Ví dụ 3: Cho hàm số 3 2 y x mx m x 2 3 9 1. Biết hàm số có một cực trị tại x = 2. Khi đó điểm cực trị còn lại của hàm số là A. 1. B. 3. C. −1. D. −3. Lời giải Ta có: 2 y x mx m 6 6 9. Cho y mm m 2 24 12 9 0 3. Với 2 2 3 6 18 12 0 1 x m yx x. Chọn A. Ví dụ 4: Cho hàm số 3 2 y x mx nx C 1. Giá trị của 2m n biết đồ thị hàm số đạt cực trị tại điểm A(2;7) là? A. 21. B. 22. C. 23. D. 20. Lời giải Ta có: 2 y x mx n y m n 3 2 m n. Mặt khác A C (2;7) nên x y 2 7 nên ta có 84 2 17 4 2 2 mn mn Khi đó 2 2 11 10 3 11 10 5 2 m n yx x. Hàm số có hai điểm cực trị. Vậy 11 10 2 21 2 m n mn. Chọn A.
Ví dụ 5: Cho hàm số 3 2 y x mx nx 3 2. Giá trị của 3m n biết đồ thị hàm số đạt cực trị tại điểm A(−1;4) là: A. −15. B. 15. C. 37. -3. D. Không tồn tại m. Lời giải Ta có: 2 y x mx n 6. Cho y mn mn 1 3 6 0 6 3. Mặt khác đồ thị hàm số qua A(−1;4) nên 4 13 2 3 7 mn mn. Do đó 2 4 1 6 3 m n m yxx (thỏa mãn có 2 điểm cực trị). Chọn A. Ví dụ 6: Cho hàm số 1 1 3 2 2 24 43 1 3 2 yx m xm m x (m là tham số). Tìm m để hàm số đạt cực đại tại 0 x 2. A. m = 1. B. m = −2. C. m = −1. D. m = 2.
Lời giải 2 2 y x m xm m 24 43. Để hàm số đạt cực đại tại 0 x 2 thì 22 2 4 3 0 1 1 m m. Với m = 1 thì 2 0 yx x y ⇒ x là điểm cực đại. Với m = −1 thì 2 0 yx 2 2 là điểm cực tiểu. Vậy m = 1 là điểm cần tìm. Chọn A. Ví dụ 7: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số 1 322 1 1 3 y x mx m m x đạt cực đại tại x = 1. A. m = −1. B. m = 1. C. m = 2. D. m = −2. Lời giải Ta có 2 2 y x mx m m y x m. Để hàm số đạt cực đại tại x = 1 thì 2 1 1 3 2 0. Với my x 1 1 0 1 không phải điểm cực đại.
Với my x 2 1 2 0 1 là điểm cực đại của hàm số. Chọn C. Ví dụ 8: Cho hàm số 3 22 y x m x mx 18 9 1 6 2 3 2019 với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đạt cực tiểu tại 1 3 x. Lời giải: Ta có 2 2 y x m x my x m 54 18 1 6 2 3. Hàm số đạt cực tiểu tại 1 3 x khi đó 2 1 2 0 6 6 1 62 3 0. TH1: Với 1 1 0 3 3 my x không phải điểm cực tiểu của hàm số. TH2: Với 1 1 2 54 0 3 3 my x là điểm cực tiểu của hàm số. Suy ra với m = 2 thỏa mãn đề bài. Chọn A.
Ví dụ 9: Cho hàm số 3 22 y x mx m x 2. Giá trị của m để hàm số đạt cực tiểu tại x = −1 là: Lời giải: Ta có 2 2 y x mx m. Cho 2 1 1 32 0 3 m y m. Với m y xm x y 3 6 2 6 6 1 12 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = −1. Với m y xm x y 1 6 2 6 2 1 4 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = −1. Chọn C. Ví dụ 10: Cho hàm số 3 2 y x ax bx 1. Giá trị của a b để hàm số đạt cực trị tại các điểm x = 1 và x = −2 là? Lời giải: Ta có 2 y x ax b 3. Cho 2 12 4 0 2 6 y ab a a b y ab b. Chọn A.
Ví dụ 11: Cho biết hàm số 3 2 y f x x ax bx c đạt cực tiểu tại điểm x f 1 1 3 và đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2. Tính giá trị của hàm số tại x = −2. Lời giải Ta có 2 f x x ax b 32. Theo đề bài ta có 1 6 2 0 3 f a b a f abc b fx. Chọn B. Ví dụ 12: [Đề thi thử nghiệm 2017] Biết M N là các điểm cực trị của đồ thị hàm số 3 2 y ax bx cx d. Tính giá trị tại điểm x = −2. Lời giải: Ta có 2 y x bx c 3 2. Hàm số đạt cực trị tại điểm 2 12 4 0 y c x x y ab.
Lại có 0 2 284 2 y d MN C y a bc. Từ (1) và (2) 3 2 0 2 3 2 c d yx x a b. Do đó y 2 18. Chọn D. Ví dụ 13: Biết đồ thị hàm số 3 2 y ax bx cx d có các điểm cực trị E 0 4 và F 1 3. Tính giá trị hàm số tại điểm x = −2. Lời giải Xét hàm số 3 2 y ax bx cx d ta có 2 y ax bx c 3 2. Điểm E 0 4 là điểm cực trị của đồ thị hàm số y c y d. Điểm F 1 3 là điểm cực trị của đồ thị hàm số 1 0 3 2 0 1 3 4 3 y a b y a b. Từ (1) và (2) suy ra 3 2 a b c d yx x y 3 0 4 2 3 4 2 8. Chọn A.