Tìm điểm cố định và điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị hàm số

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Tìm điểm cố định và điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị hàm số, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Tìm điểm cố định và điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị hàm số:
Dạng 4: Tìm điểm cố định và điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị hàm số Tìm điểm cố định: Gọi Mx y 0 0 là điểm cố định mà đồ thị hàm số y = f(x) luôn đi qua. Khi đó y fx 0 0 biến đổi phương trình về dạng m gx y hx y. Giải hệ phương trình gx y hx y. Tọa độ điểm M. Tìm điểm có tọa độ nguyên: Điểm M xy C y f x có tọa độ nguyên nếu tọa độ điểm M xy thỏa mãn y fx x y.
Ví dụ 1: Cho hàm số 4 2 C y x mx m 1. Tọa độ các điểm cố định thuộc đồ thị (C) là A. (−1;0) và (1;0) B. (1;0) và (0;1) C. (−2;1) và (−2;3) D. (2;1) và (0;1). Lời giải: Gọi Mx y là tọa độ điểm cố định của (C) ta có: 4 2 0 y x mx m m mx x y m. Vậy tọa độ các điểm cố định thuộc đồ thị (C) là (−1;0) và (1;0). Chọn A. Ví dụ 2: Gọi các điểm M N là các điểm cố định mà đồ thị hàm số 3 2 y x mx mx C 3 31 luôn đi qua. Tính độ dài MN.
A. MN = 1. B. MN = 2. C. MN = 2. D. MN = 4. Lời giải: Gọi Mx y 0 0 là tọa độ điểm cố định thuộc (C) ta có: 3 2 0 y x mx mx m. Vậy M N MN 1 0. Chọn B. Ví dụ 3: Cho hàm số 3 2 y mx mx m x C 3 2 12. Phương trình đường thẳng đi qua các điểm cố định của đồ thị hàm số đã cho là? Lời giải Gọi Mx y là tọa độ điểm cố định thuộc (C) ta có: 3 2 0 y mx mx m x m. Như vậy đồ thị hàm số luôn đi qua 3 điểm cố định là nghiệm của hệ phương trình (*) và 3 điểm này đều thuộc đường thẳng y x 2 2. Chọn A.
Ví dụ 4: Biết rằng đồ thị hàm số 4 2 y x mx m 1 luôn đi qua hai điểm cố định A và B. Tính độ dài đoạn thẳng AB. Lời giải: Gọi Mx y 0 0 là tọa độ điểm cố định thuộc (C) ta có: 4 2 00 0 y x mx m m. Khi đó A B AB. Chọn B. Ví dụ 5: Có bao nhiêu thuộc đồ thị hàm số 2 2 x C y x mà tọa độ là số nguyên? A. 2. B. 4. C. 5. D. 6. Lời giải: Ta có: 2 2 2 14 4 2. Điểm có tọa độ nguyên khi x và x 1. Khi đó có 6 điểm có tọa độ nguyên thuộc 2 2 x C y x. Chọn D.
Ví dụ 6: Gọi M N là hai điểm thuộc đồ thị hàm số 3 2 x y C x sao cho tọa độ của chúng là những số nguyên. Tính độ dài MN. Lời giải: Ta có: 3 2 3 11 1 3. Điểm có tọa độ nguyên khi x và x 1. Khi đó có 2 điểm có tọa độ nguyên thuộc 2 2 x C y x là M N 2 4 0 2. Khi đó MN = 22. Chọn A. Ví dụ 7: Có bao nhiêu thuộc đồ thị hàm số 2 5 15 x x C y x mà tọa độ là số nguyên? A. 6. B. 7. C. 5. D. 8. Lời giải Ta có: 2 2 5 15 3 2 6 9 9 2 y x.
Điểm có tọa độ nguyên khi x và x 3 x. Từ đó suy ra có 6 điểm có tọa độ là số nguyên thuộc (C). Chọn A. Ví dụ 8: Có bao nhiêu thuộc đồ thị hàm số 3 7 2 1 x y x mà tọa độ là số nguyên? A. 3. B. 1. C. 2. D. 4. Lời giải Ta có: 3 7 6 14 3 2 1 17 17 2 3 x x. Điểm có tọa độ nguyên khi x và 2 1 x. Suy ra 2 1 17 8 1 21 1 0 7 x xy. Có 4 điểm có tọa độ là số nguyên. Chọn D.