Tìm cực trị của hàm số không có tham số

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Tìm cực trị của hàm số không có tham số, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Tìm cực trị của hàm số không có tham số:
DẠNG 1. TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ KHÔNG CÓ THAM SỐ Phương pháp giải: Quy tắc 1: Áp dụng định lý 1. – Bước 1: Tìm miền xác định D của hàm số đã cho. – Bước 2: Tính f'(x). Tìm các điểm mà tại đó f x 0 hoặc f'(x) không xác định. – Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu f'(x) hoặc bảng biến thiên đê kết luận. Quy tắc 2: Áp dụng định lý 2. – Bước 1: Tìm miền xác định D của hàm số đã cho. – Bước 2: Tính f'(x). Giải phương trình f x 0 và ký hiệu xi n i 1 2… là các nghiệm của nó. – Bước 3: Tính f x từ đó tính được f x i. – Bước 4: Dựa vào dấu của f x i suy ra tính chất cực trị của điểm i x.
Ví dụ 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số: 4 2 yx x 8 2 Lời giải TXĐ: Ta có: 3 0 4 16 0 2 x fx. Bảng xét dấu của y x −∞ −2 0 2 +∞ y − 0 + 0 − 0 +. Ta thấy y’ đổi dấu khi qua các điểm xx 0 2 0 2 là các điểm cực trị của hàm số y’ đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua các điểm x x 2 2 là điểm cực tiểu, y’ đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua các điểm x x 0 0 là điểm cực đại của hàm số. Ví dụ 2: Tìm các điểm cực trị của hàm số: a) 4 2 2 6 4 x fx b) gx x sin 2. Lời giải a) TXĐ: Ta có: 3 2 0 4 0 fx x. Khi đó f x 2 8 0 2 là các điểm cực tiểu f x 0 4 0 là điểm cực đại của hàm số.
b) TXĐ: R. Ta có: 2cos 2 0 cos 2 0 2 2 42 gx x π 4 2 4sin 2 f k khi k fx x. Vậy hàm số đạt cực đại tại các điểm 4 2 x kk π π và đạt cực tiểu tại các điểm 3 4 x kk π. Ví dụ 3: Cho hàm số y fx liên tục và xác định trên R. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? A. Nếu f x thì hàm số đó đạt cực trị tại điểm 0 x x. B. Nếu f x và f x thì hàm số không đạt cực trị tại điểm 0 x x. C. Nếu f x và f x thì hàm số đạt cực đại tại điểm 0 x x. D. Nếu f'(x) không xác định tại điểm 0 x thì hàm số không đạt cực trị tại điểm 0 x x.
Lời giải Nếu 3 fx x thì f 0 0 nhưng hàm số không đạt cực trị tại điểm x = 0 nên A sai. Nếu 4 fx x thì f 0 0 và f 0 0 nhưng hàm số vẫn đạt cực trị tại điểm x = 0. B sai. Nếu 2 yx hàm số này không có đạo hàm tại điểm x = 0 nhưng vẫn có cực trị tại điểm x = 0. D sai. Chọn C. Ví dụ 4: Cho hàm số y fx xác định và liên tục trên [−2;3] và có bảng xét dấu như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng về hàm số đã cho? x −2 0 1 3 f'(x) + − 0 + A. Đạt cực tiểu tại x = −2. B. Đạt cực đại tại x = 1. C. Đạt cực tiểu tại x = 3. D. Đạt cực đại tại x = 0.
Lời giải: Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy f x đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm x = 0 nên hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 0. Chọn D. Ví dụ 5: Cho hàm số 2 yx x 2 4. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số có giá trị cực đại bằng −2 3. B. Hàm số đạt cực đại tại 2 3 3 x. C. Hàm số đạt cực tiểu tại 2 3 3 x D. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 10 3 3. Lời giải TXĐ: D = R. Ta có: 2 x x. Bảng xét dấu cho y’ x −∞ 2 3 3 +∞ y’ + 0. Suy ra hàm số đạt cực đại tại điểm 2 3 3 x và có giá trị cực đại bằng 2 3 2 3. Chọn A.
Ví dụ 6: Cho hàm số 1 3 3 2 2 1. 3 2 yx x. Giả sử hàm số đạt cực đại tại điểm x a và đạt cực tiểu tại điểm x b thì giá trị của biểu thức 2 5 a b là: A. 1. B. 12. C. −1. D. −8. Lời giải TXĐ: D = R. Ta có: 2 1 3 20 yx x. Bảng xét dấu y’ x −∞ 1 2 +∞ y’ + 0 − 0. Do y’ đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm x x 1 là điểm cực đại của hàm số y’ đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm x x 2 2 là điểm cực tiểu của hàm số. Hoặc ta có: CD CT yx y. Vậy 1 2 5 8 2 CD CT x a a b x b. Chọn D. Ví dụ 7: [Đề thi minh họa Bộ GD&ĐT 2017] Tìm giá trị cực đại CD y của hàm số 3 yx x 3 2.
Lời giải Ta có: 2 1 3 30 1 x y x. Mặt khác y xy x y 6 1 0 1 CD CD 1 4. Vậy giá trị cực đại của hàm số là 4. CD y Chọn A. Chú ý: Hàm số bậc ba 3 2 y ax bx cx d a 0 có hai điểm cực trị khi 2 y ax bx c 3 2 0 có hai nghiệm phân biệt. Khi đó CD CT y y và: Nếu a 0 thì CD CT x x. Nếu a 0 thì CD CT x x. Ví dụ 8: Giá trị cực đại của hàm số yx x sin 2 trên (0;π) là? Lời giải Ta có: 1 sin 2 1 cos 2 2 y x x xy ⇒ Giá trị cực đại của hàm số bằng 3 3 2 y π. Chọn D. Ví dụ 9: Cho hàm số 3 2 yx x 1. Giả sử hàm số đạt cực đại tại x a và cực tiểu tại x b thì giá trị của biểu thức 2 2 2a b là?