Tìm các khoảng đơn điệu (khảo sát chiều biến thiên) của hàm số y = f(x) dựa vào bảng xét dấu y’

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Tìm các khoảng đơn điệu (khảo sát chiều biến thiên) của hàm số y = f(x) dựa vào bảng xét dấu y’, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Tìm các khoảng đơn điệu (khảo sát chiều biến thiên) của hàm số y = f(x) dựa vào bảng xét dấu y’:
Loại 1: Tìm các khoảng đơn điệu (khảo sát chiều biến thiên) của hàm số y = f(x) dựa vào bảng xét dấu y’. Phương pháp giải. Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số. Tính đạo hàm y fx. Bước 2. Tìm các điểm tại đó f x hoặc f x không xác định. Bước 3. Sắp xếp các điểm theo thứ tự tăng dần và lập bảng xét dấu của y’. Dựa vào quy tắc xét dấu đã nêu để xét dấu cho y’. Bước 4. Kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến dựa vào bảng xét dấu của y’.
Ví dụ 1: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau a) 3 2 yx x 3 2 b) 4 2 yx x 2 Lời giải a) TXĐ: D Ta có: 2 0 3 6 2 x yxx Bảng biến thiên (xét dấu y’): x −∞ 0 2 +∞ y’ + 0 − 0 + Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞;0) và (2;+∞) , nghịch biến trên khoảng (0;2). b) TXĐ: D Ta có: 3 0 4 4 x Bảng biến thiên (xét dấu y’): x −∞ −1 0 1 +∞ y’ − 0 + 0 − 0 + Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (−1;0) và (1;+∞), nghịch biến trên khoảng (−∞ −; 1) và (0;1).
Ví dụ 2: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau a) 3 yx x 3 2 b) 4 3 yx x 4 2 Lời giải a) TXĐ: D Ta có: 2 1 3 30 1 x y x x Bảng biến thiên (xét dấu y’): x −∞ −1 1 +∞ y’ − 0 + 0 − Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (−1;1) và nghịch biến trên khoảng (−∞ −; 1) và (1;+∞). b) TXĐ: D = R. Ta có: 3 22 y x x x 4 12 4 3 Bảng biến thiên (xét dấu y’): x −∞ 0 3 +∞ y’ − 0 − 0 + Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (3;+∞) , nghịch biến trên khoảng (−∞;3).
Ví dụ 3: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau a) 3 1 x y x. b) 3 1 1 x y x. Lời giải a) TXĐ: D = R \ 1. Ta có: 4 0 1 y x D x. Bảng biến thiên (xét dấu y’): x −∞ 1 +∞ y Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;1) và (1;+∞). b) TXĐ: D. Ta có: 2 2 0 1 y x D x. Bảng biến thiên (xét dấu y’): x −∞ −1 +∞ y. Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞ −; 1) và (− +∞ 1; ). Ví dụ 4: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau a) 4 y x x b) 2 9 1 x x y x. Lời giải a) TXĐ: D = R \ 0. Ta có: 2 4 2 1 0 x y x x. Bảng biến thiên (xét dấu y’): x −∞ −2 0 2 +∞ y’ + 0 − − 0 +. Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞ −; 2) và (2;+∞) , hàm số nghịch biến trên khoảng (−2;0) và (0;2).
b) TXĐ: D = R \ 1 Ta có: 2 2 2 2 21 1 9 2 8 2 y x x. Bảng biến thiên (xét dấu y’): x −∞ −2 1 4 +∞ y’ + 0 − − 0 + Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞ −; 2) và (4;+∞) , hàm số nghịch biến trên các khoảng (−2;1) và (1;4). Ví dụ 5: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau a) 2 y x 16 b) 2 y xx 6 Lời giải a) TXĐ: D = [-4;4]. Ta có: 2 2 0 0 2 16 x y x x. Bảng biến thiên (xét dấu y’): x −∞ −4 0 4 +∞ y’ + 0 − Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (−4;0) và hàm số nghịch biến trên khoảng (0;4). b) TXĐ: D = [0;6] Ta có: 2 6 2 0 3 2 6 y x x. Bảng biến thiên (xét dấu y’): x −∞ 0 3 6 +∞ y’ + 0 −. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0;3), hàm số nghịch biến trên khoảng (3;6).
Ví dụ 6: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau a) 2 yxx 4 b) 2 yxx 8 12 Lời giải a) TXĐ: D. −∞ ∪ +∞. Ta có: 2 2 4 0 2 2 4 x x Bảng biến thiên (xét dấu y’): x −∞ 0 2 4 +∞ y’ − 0 +. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (4;+∞) , hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;0). b) TXĐ: D −∞ ∪ +∞ Ta có: 2 2 8 0 4 2 8 12 y x Bảng biến thiên (xét dấu y’): x −∞ 2 4 6 +∞ y’ − 0 + Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (6;+∞), hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;2).