Tiếp tuyến với bài toán tương giao

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Tiếp tuyến với bài toán tương giao, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Tiếp tuyến với bài toán tương giao:
Dạng 4: Tiếp tuyến với bài toán tương giao Phương pháp giải: Viết phương trình hoành độ giữa đồ thị hàm số y fxC và đường thẳng d y ax b. Gọi A x ax b i i là tọa độ giao điểm khi đó k fx i i là hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại điểm A. Ví dụ 1: Cho hàm số 1 2 1 x y C x. Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng dy x m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi 1 2 k k lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại A và B. Tìm m để tổng k k 1 2 đạt giá trị lớn nhất. Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm là: 1 21 1 2 1 x xm xm x (Do 1 2 x không phải là nghiệm) 2 2 1 0 x xm.
Ta có: 2 ∆ mm x d 2 20 luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt. Gọi 1 2 x x là nghiệm của phương trình (*) theo định lý Vi-ét ta có: 1 2 1 2 m x x. Khi đó 1 1 4 84 2 k x 4 864 122 mm m. Do đó k k 1 2 đạt giá trị lớn nhất m 1. Ví dụ 2: Cho hàm số 3 2 yx x C 4 3. Viết phương trình đường thẳng d qua A(0;3) và cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho các tiếp tuyến tại B, C vuông góc với nhau. Lời giải Phương trình đường thẳng d là: y kx 3. Phương trình hoành độ giao điểm là: 43 3 4 0 x A gx x x k.
Để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt x 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 0 4 0 k k. Khi đó gọi B x kx C x kx 2 2 3 2 2 k y xk x x. Để các tiếp tuyến tại B, C vuông góc với nhau 1 2 k k 1 xx 12 1 2 3 8 3 8 1 k k (thỏa mãn). Vậy 16 247 16 247. Ví dụ 3: Gọi 1 k và 2 k lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến tại các giao điểm của 1 2 x C y x và đường thẳng dy x 21. Giá trị của k k 1 2 là: A. 5 B. 10 C. 20 D. 30 Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm là 2 1 2 2 6 2 1 x x. Mặt khác ta có: 1 26 26 20 y kk y y x. Chọn C.
Ví dụ 4: Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 2 y x mx 2 cắt đường thẳng y = −1 tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho tổng hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại A và B bằng 4. A. m = 2 B. m = −2 C. m = −3 D. m = 3 Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm là 2 x mx 2 10. Đk cắt tại 2 điểm phân biệt là: ∆ m 1 0. Khi đó 1 2 x x là hoành độ giao điểm thì 1 2 xx m x x. Lại có y x yx yx x x m m 24 44 2. Chọn A. Ví dụ 5: Cho hàm số 3 2 y x m x mx C 1 32. Số các giá trị của m để (C) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt A(1;0), B, C sao cho tiếp tuyến tại B và C của (C) song song với nhau. A. 1 B. 0 C. 2 D. 3.
Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm là: 3 2 x m x mx 3 1 3 20 x x x mx +) Để (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt g x 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1. Khi đó gọi 1 2 3 2 Bx Cx x. Ta có: 2 2 m x mk y x x m x m. Do tiếp tuyến tại B và C song song nên ta có: 2 2 1 2 1 1 2 2 kk x m xx m x (t/m). Chọn A. Ví dụ 6 [Đề thi THPT QG năm 2018]: Cho hàm số 1 7 4 2 4 2 yx x có đồ thị (C). Có bao nhiêu điểm A C sao cho tiếp tuyến của (C) tại A cắt (C) tại hai điểm phân biệt Mx Nx y 11 2 2 (M, N khác A) thỏa mãn yy xx 12 12 6?
Lời giải: Từ giả thiết ta được đường thẳng MN có một vectơ chỉ phương (1;6) u. Suy ra hệ số góc của đường thẳng MN bằng 6. Gọi Ax y 0 0 ta có: x fx x. Ta được các phương trình tiếp tuyến tương ứng là 117 6 4 y x. Kiểm tra điều kiện cắt tại 3 điểm. Ta xét phương trình 1 7 4 2 1 7 4 2 6 6 4 2 4 2 x m gx. Khi đó 3 3 0 7 60 1 gx x. Ta được bảng biến thiên sau.