Tích phân đổi biến số với hàm số chẵn, hàm số lẻ

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Tích phân đổi biến số với hàm số chẵn, hàm số lẻ, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Tích phân đổi biến số với hàm số chẵn, hàm số lẻ:
Dạng 3: Tích phân đổi biến số với hàm số chẵn, hàm số lẻ Bài toán tổng quát: Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [−a;a] Chứng minh rằng: a) 0 2 a a a f x dx f x dx nếu f(x) là hàm số chẵn. b) 0 a a f x dx nếu f(x) là hàm số lẻ. Lời giải a) Hàm số f(x) là hàm chẵn thì f x fx. Ta có: 0 a t x a a f x dx f x d x f t dt f x dx f x dx. Do đó 0 0 0 2 a a f x dx f x dx f x dx f x dx. b) Hàm số f(x) là hàm lẻ thì f x fx. Ta có: a a t x f x dx f x dx f x d x f t dt f x dx.
Do đó 2 0 0 a a a a f x dx f x dx. Ví dụ 1: Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn fx f x 2 2cos 2 x x R. Tính 3 2 3 2 I f x dx π π A. I = −6. B. I = 0. C. I = −2. D. I = 6. Lời giải Lấy tích phân 2 vế của fx f x x cos 2 cận từ 3 3 2 2 π π ta có: 33 3 3 22 2 2 33 3 3 22 2 2 f x dx f x dx 2 2cos 2 2 cos 12 xdx x dx ππ π π (Sử dụng máy tính Casio).
Đặt t x dt dx và đổi cận 3 3 2 2 x t x t π π π π. Khi đó 3 333 2 222 3 333 2 2 22 f x dx f t dt f t dt f x dx π πππ. Suy ra 3 3 2 2 3 3 2 2 f x dx f x dx I I 2 12 6 π π π π. Cách 2: Vì 2 2cos 2 2 2cos 2 x x ta có thể chọn 2 2cos 2 2 x f x. Sau đó sử dụng Casio để bấm 3 2 3 2 2 2cos 2 2 x I dx π π. Chọn D. Ví dụ 2: Cho hàm số y fx xác định và liên tục trên R thỏa mãn fx f x cos 2 R Khi đó 6 6 I f x dx π π bằng? A. 2. B. −2. C. 12 D. 34.
Lời giải Lấy tích phân 2 vế của fx f x x cos 2 R cận từ 6 6 π π ta có: 1 13 cos 2 cos 2 2 sin 2 2 22 f x dx f x dx xdx xd x x ππ π π π. Suy ra 66 6 6 2 4 f x dx f x dx f x dx f x dx. Chọn D. Cách 2: Vì cos 2 cos 2 x x ta chọn 6 6 cos 2 cos 2 3 2 24 x x f x dx π π. Ví dụ 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn fx f x x 2 1 3 R. Tính tích phân 1 0 I f x dx. Lời giải: Cách 1: Ta có 3 3 21 3 2 1 3. 2 2 f x f x x f x dx f x dx xdx x.
Đặt 1 011 x t t x dt dx f x dx f t dt f t dt f x dx x t. Suy ra 00 0 0 3 11 21 3 2 22 f x dx f x dx f x dx f x dx I. Chọn C. Cách 2: Ta có fx f x x f x fx x 2 1 3 1 2 31 3 3. Khi đó fx f x x f x fx x lấy 2 2 1 ta được 3 23 3 3 2 3 fx x x fx x. Vậy 1 1 2 1 0 0 0 3 1 23 2 x I f x dx x dx x. Chọn C. Ví dụ 4: Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa mãn 2 fx f x x R. Tính 1 1 I f x dx.
Lời giải Ta có 22 2 1 11 1 1 f x f x x f x f x dx x dx f x dx f x dx x dx. Đặt 1 11 1 x t t x dt dx f x dx f t dt f t dt f x dx x t. Chọn D. Ví dụ 5: Cho hàm số f(x) liên tục trên R và số thực a dương. Biết rằng với mọi x a [0;a] thì f(x) > 0 và fxfa x 1. Tính 0 1 a dx I f x. Lấy tích phân 2 vế ta có: a a dx fa x I dx fx fa x. Đặt t a x dt dx khi đó a I aI I. Chọn A. Cách 2: Vì fxfa x 1 ta có thể chọn 0 0 11 22 2.