Tích phân đổi biến số với hàm ẩn

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Tích phân đổi biến số với hàm ẩn, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Tích phân đổi biến số với hàm ẩn:
Dạng 2: Tích phân đổi biến số với hàm ẩn Chú ý tính chất: b bb a aa f x dx f t dt f u du (tích phân không phụ thuộc vào biến). Ví dụ 1: Cho hàm số f x liên tục trên R thỏa mãn 6 0 f x dx 12. Tính tích phân 2 0 I f x dx 3. A. I = 6. B. I = 36. C. I = 2. D. I = 4. Lời giải: Ta có: 2 2 6 6 3 0 0 0 0 1 1 1 12 3 3 3 4 3 33 3 t x I f x dx f x d x f t dt f x dx. Chọn D. Ví dụ 2: Cho hàm số f x liên tục trên ∞ 1 và 3 0 f x dx 1 8.
Tính 2 1 I x f x dx. A. I = 2. B. I = 8. C. I = 4. D. I = 16. Lời giải: Đặt 2 t x t x tdt dx 1 12 và đổi cận 0 1 3 2 x t x t. Khi đó 3 222 0 111 I f x dx t f t dt t f t dt x f x dx 1 2 8 4 4. Chọn C. Ví dụ 3: Cho 9 4 f x dx a x và 1 0 f x dx b 2. Tính tích phân 3 0 I f x dx theo a và b. A. 2 2 a I b B. I ab 2 C. I ab 2. D. 2 a b I. Lời giải: Ta có: 9 9 3 3 4 4 2 2 2 22 2 t x f x dx a f x d x f t dt a f t dt x. Do đó 3 2 2 a f x dx.
Lại có: 1 1 2 2 2 0 0 0 0 1 11 2 22 2 22 u x f x dx f x d x f u d u f x dx b. Do đó 2 3 23 0 0 02 2 2 2 a f x dx b f x dx f x dx f x dx b. Chọn A. Ví dụ 4: Cho hàm số f x liên tục trên R thỏa mãn 6 0 f x xdx sin 3 cos3 1 π và ln 2 0 3 x x e f e dx. Tính tích phân 2 0 I f x dx. A. I = 4. B. I = 5. C. I = 2. D. I = 6. Lời giải: Ta có: 6 6 1 1 sin3 0 0 0 0 1 1 1 sin 3 cos3 sin 3 sin 3 1 3 3 3 t x f x xdx f x d x f t dt f x dx π π 1 0 f x dx 3.
Lại có: ln 2 ln 2 2 2 0 0 1 1 3 x x x u e e f e dx f e d e f u du f x dx. Do đó 2 12 0 01 I f x dx f x dx f x dx 3 3 6. Chọn D. Ví dụ 5: Cho hàm số f x liên tục trên R thỏa mãn 2 16 2 1 4 cot sin 1 f x xf x dx dx x π π. Tính tích phân 1 1 8 4 f x I dxx A. I = 3. B. 3. 2 I C. I = 2. D. 5. 2 I Lời giải 2 2 2 2 4 4 cos cot sin sin sin x A xf x dx f x dx x π π π π. Đặt 2 t x dt x xdx ⇒ sin 2sin cos đổi cận suy ra 1 1 1 1 2 2 1 2 ft fx A dt dx t x. Mặt khác 16 4 4 4 2 1 1 11 1 1 22 1 2 u x f x f u fu fx B dx udu B du dx.