VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Tỉ số thể tích, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung bài viết Tỉ số thể tích:
Phương pháp giải. Để tính thể tích của khối chóp tam giác hoặc tính tỉ số thể tích của các khối chóp tam giác ta có thể sử dụng kết quả sau: Nếu A, B, C là các điểm khác điểm S) lần lượt nằm trên các đường thẳng SA, SB, SC của hình chóp S.ABC thì VS.A’B’C’ VS.ABC. Nếu ta cần tính thể tích V một khối đa diện K mà không phải là khối chóp hay khối lăng trụ thì ta thường coi V là tổng hoặc hiệu của của thể tích của hai khối đa diện khác mà cả hai khối đó đều là khối chóp hoặc khối lăng trụ.
Ví dụ 12. Cho hình chóp ABCD có đáy BCD là tam giác vuông tại C với BC = a, CD = a/3. Hai mặt phẳng (ABD) và (ABC) cùng vuông góc với mặt phẳng (BCD). Biết AB = a và M, N lần lượt thuộc các cạnh AC, AD sao cho AM = 2MC, AN = ND. Tính thể tích khối chóp. Ta có VA.BMN AB AM AN. Mặt khác VABCD = G. VA.BMN = ABCD = A.BMN. Ví dụ 13. Cho hình chóp S.ABC có ASB = ASB = ASB = 60° và SA = a, SB = b, SC = c. Tính thể tích của hình chóp S.ABC theo a, b, c.
Trên các tia SB, SC lần lượt lấy các điểm B, C sao cho SB = SC’ = a. Khi đó ta có: VS. AB’C’ SA SB SC” a VS.ABC SA SB SC 5 c. Dễ thấy S.ABC là tứ diện đều cạnh a nên VS.ABC = abcv2 đó suy ra VS.ABC = 12. Ví dụ 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAD = 60°, SAI (ABCD), SA = a. Gọi C là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) đi qua AC và song song với BD, cắt các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B, D. Tính thể tích khối chóp S.AB’CD.
Lời giải. Gọi O là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của AC và SÓ. Vì (P) song song với BD nên giao tuyến B’D’ của (P) với mặt phẳng (SBD) là đường thẳng qua I và song Song Với BD. Dễ thấy I là trọng tâm tam giác SAC, VS.AB’C’D’ = Vs.ABC + Vs.AD/C1 = VS.ABCD. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 14. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a. Mặt bên hình chóp tạo Với đáy một góc bằng 60°. Mặt phẳng (P) chứa AB đi qua trọng tâm G của tam giác SAC cắt SC, SD lần lượt tại M, N. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABMN.
Từ giả thiết ta suy ra M, N lần lượt là trung điểm của SC, SD. Gọi I là tâm của hình vuông ABCD, J là trung điểm của AD. Khi đó, IJS = 60°, Suy ra SI = a/3 và VS.ABC = Vs.ACD = 5VS.ABCD. Bài 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). SM và SA = a. Điểm M thuộc cạnh SA sao cho 2 = k. Xác định k sao cho mặt phẳng (BMC) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau.
Bài 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Giả sử M, N là các điểm lần lượt thuộc canh SC, SD sao cho SM = 2MC, SN = GND. Gọi V1 là thể tích khối đa diện S.ABMN và V là thể tích khối chóp S.ABCD. Ta có Vs.ABM N = VS.ABM + Vs.ANM. Do SM = 2MC nên = VS.ABM SA SB SM 2 Vs.ABC SA SB SC – 3.
Bài 17. Cho khối tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 3a, gọi G1, G2, G3, G là trọng tâm của 4 mặt của tứ diện ABCD. Tính thể tích V của khối tứ diện. Chiều cao của hình chóp GG G3G, bằng chiều cao của hình chóp DABC, diện tích tam giác GG3G, bằng a diện tích tam giác KEF, cho nên diện tích tam giác GG3G, bằng a diện tích tam giác ABC.