Sự tương giao của đồ thị hàm số trùng phương

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Sự tương giao của đồ thị hàm số trùng phương, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Sự tương giao của đồ thị hàm số trùng phương:
Dạng 3: Sự tương giao của đồ thị hàm số trùng phương Phương pháp giải: Xét sự tương giao đồ thị 4 2 C y ax bx c a 0 và trục hoành có phương trình y = 0. Phương trình hoành độ giao điểm (C) và trục hoành là 4 2 ax bx c 0 1. Bài toán liên quan đến số giao điểm. Số giao điểm của đồ thị (C) và trục hoành chính là số nghiệm của phương trình (1). Đặt 2 t x ≥ 0 thì (1) thành 2 at bt c 0 (2) +) (C) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt ⇔ (2) có 2 nghiệm dương phân biệt 2 1 2 b ac b t t ∆. +) (C) cắt trục hoành tại đúng 3 điểm phân biệt ⇔ (2) có 1 nghiệm dương và 1 nghiệm bằng 0. (C) cắt trục hoành tại đúng 2 điểm phân biệt ⇔ (2) có nghiệm kép dương hoặc (2) có hai nghiệm trái dấu.
(C) cắt trục hoành tại điểm duy nhất ⇔ (2) có nghiệm kép bằng 0 hoặc (2) có một nghiệm bằng 0 hoặc một nghiệm âm. +) (C) không cắt trục hoành ⇔ (2) vô nghiệm, có nghiệm kép âm hoặc có 2 nghiệm phân biệt đều âm. Một số bài toán có thể thay trục hoành thành dy m hoặc 2 P y mx n phương pháp giải hoàn toàn tương tự như trên. Bài toán liên quan đến tính chất giao điểm Tìm điều kiện để 4 2 C y ax bx c a 0 cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt A, B, C, D thỏa mãn điều kiện cho trước. Bước 1: Tìm điều kiện để (1) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ (2) có 2 nghiệm dương phân biệt 1 t và 2t2 b ac b t t a c t t a.
Bước 2: Giả sử 1 2 t t 0 khi đó các nghiệm của (1) sắp xếp theo thứ tự tăng dần là xử lý điều kiện và tìm giá trị của tham số. Đặc biệt: Khi hoành độ 4 điểm A, B, C, D lập thành cấp số cộng hoặc AB BC CD khi: 2 12 t t 2 39. Ví dụ 1: Số giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số 4 2 yx x m 8 52 cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt là: Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm là 4 2 xx m 8 52 0. Đặt 2 2 t x t PT t t m 0 8 5 2 0. Phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn 1 2 t t 0.
Khi đó 1 2 m t t m t t m ∆. Kết hợp m ⇒ Có 8 giá trị của m. Chọn D. Ví dụ 2: Cho hàm số 4 2 yx m x 22 4 có đồ thị (Cm) với m là tham số thực. Tìm tập hợp T gồm tất cả các giá trị của tham số m để (Cm) cắt Ox tại bốn điểm phân biệt. Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm là 2 42 2 2 2 4 0 2 2 4 0 x x mx t mt. Đồ thị hàm số và trục hoành có 4 giao điểm khi và chỉ khi PT hoành độ giáo điểm có 4 nghiệm phân biệt ⇔ (*) có hai nghiệm phân biệt −∞ m T 0 0. Chọn D. Ví dụ 3: Cho hàm số 4 2 y x mx m C 2 1. Gọi S là tập hợp các giá trị của m để (C) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ 1234 xx thỏa mãn 4444 1 234 xx 20.
Tổng các phần tử của tập hợp (S) là? Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox là 4 2 x mx m. Đặt 2 2 t x t mt m 1 2 1 02. Để (C) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt ⇔ (2) có 2 nghiệm phân biệt 1 2 t t m m S m P m. Theo Viet: 1 2 tt m tt m. Khi đó phương trình (1) có 4 nghiệm 1 221 t t. Ta có: giả thiết bài toán 4 2 2 10 2 6 0 3 m m. Kết hợp (*) ⇒ m 2 là giá trị cần tìm. Chọn C. Ví dụ 4: Cho hàm số 4 2 yx m x C 2. Gọi S là tập hợp các giá trị của m để (C) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ 1234 xx thỏa mãn 44 1 234. Số phần tử của tập hợp S là?
Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox là 4 2 x mx 2 0 1. Đặt 2 2 tx t m t. Để (C) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt ⇔ (2) có 2 nghiệm phân biệt 1 2 t t 0. Theo Viet: +) Khi đó phương trình (1) có 4 nghiệm 1 2 tt ta có: 22 225 2 5 1 t t tt m. Kết hợp (*) ⇒ m 1 là giá trị cần tìm. Chọn B. Ví dụ 5: Cho hàm số: 4 2 y x mx m C 2 4. Gọi S là tập hợp các giá trị của m để (C) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ 1234 xx thỏa mãn: 1234 xx 8. Tổng các phần tử của tập hợp S là? Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox là 4 2 x mx m. Đặt 2 2 t x t mt m. Để (C) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt ⇔ (2) có 2 nghiệm phân biệt 1 2 t t.
Theo Viet: 1 2 tt m. +) Khi đó phương trình (1) có 4 nghiệm 1 221. Ta có: giả thiết tt 1 2 2 1 82 8 4 t t tt m m m m m. Vậy m = 5 là giá trị cần tìm. Chọn A. Ví dụ 2: Cho hàm số 4 2 y f x ax bx c có đồ thị như hình vẽ. Tập hợp các giá trị thực của m để đường thẳng dy m 2 cắt đồ thị hàm số y fx tại bốn điểm phân biệt cách đều nhau là? Lời giải: Dựa vào đồ thị hàm số, suy ra 4 2 y fx x 2 1. PT hoành độ giao điểm hai đồ thị là 2 4 2 2 2 1 2 2 1 0 t x x x m t tm. Hai đồ thị có 4 giao điểm khi và chỉ khi PT (*) có hai nghiệm dương phân biệt. Suy ra 1 2 t t ∆. Giả sử 1 2 t t 4 nghiệm của PT ban đầu theo thứ tự từ bé đến lớn sẽ là 1 2 t t.
Theo đề bài ta có m t t tt m 9 34 1 25 25 m m. Chọn B. Ví dụ 7: Cho hàm số 4 2 2 y x m x mC. Các giá trị của tham số thực m để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ 1234 xx thỏa mãn 2222 1 234 6 là? Lời giải: PT hoành độ giao điểm hai đồ thị là 2 4 2 t x x m x m t mtm. Đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm ⇔ (*) có 2 nghiệm dương phân biệt 1 2 1 2. Khi đó 22 x tt m m thỏa mãn 1 4 0 m m. Chọn D. Ví dụ 8: Cho hàm số 4 22 yx m x m C 2 1. Có bao nhiêu giá trị của m để (C) chia trục hoành thành 4 đoạn phân biệt có độ dài bằng nhau. Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox là 4 22 x mxm. Để (C) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt ⇔ (2) có 2 nghiệm phân biệt 1 2 t t 0.