Sự tương giao của đồ thị hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Sự tương giao của đồ thị hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Sự tương giao của đồ thị hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất:
Dạng 2: Sự tương giao của đồ thị hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất Phương pháp giải: Xét sự tương giao giữa đồ thị: ax b C y cx d và đường thẳng d kx y. Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) là: 2 0 d ax b x kx c cx d g x Ax Bx C. Bài toán biện luận số giao điểm của hai đồ thị. Trường hợp 1: Xét A 0 Kết luận về số giao điểm. Trường hợp 2: Xét A ≠ 0 d cắt (C) tại hai điểm phân biệt ⇔ g x 0 hai nghiệm phân biệt khác 2 2 4 0 B AC d d dd c g A BC ∆ d cắt (C) tại điểm duy nhất ⇔ g x có nghiệm kép khác d c − hoặc g x có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm. d không cắt (C) ⇔ g x vô nghiệm hoặc có nghiệm kép bằng d g x c d g.
Bài toán liên quan đến tính chất các giao điểm. Phần này, ta chỉ xét bài toán mà có liên quan đến d cắt (C) tại hai điểm phân biệt. Bước 1. Tìm điều kiện để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt ⇔ g x 0 có hai nghiệm phân biệt khác 2 2 4 0 B AC d d dd c g A BC. Bước 2. Khi đó gọi 11 2 2 A x kx B x kx là tọa độ hai giao điểm. Với 1 2 x x là hai nghiệm của phương trình g x 0 nên theo định lý Viet ta có 1 2 1 2 B x x A C x x A. Bước 3. Theo yêu cầu bài toán, ta tìm giá trị của tham số chú ý đối chiếu với điều kiện (1) để chọn đáp án đúng.
Chú ý: 2 2 AB x x y y AB AB. Tam giác IAB vuông tại I IA IB 0. Trọng tâm tam giác IAB là 3 3 I A BI A B xx xy. Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng (d x ym) 2 0 cắt đồ thị hàm số 3 1 x y x tại hai điểm phân biệt. Lời giải Ta có: 2 2 x m d y. Phương trình hoành độ giao điểm là: 3 1 2 x xm x. Để d cắt đồ thị hàm số 3 1 x y x tại 2 điểm phân biệt thì g x 0 phải có 2 nghiệm phân biệt khác 2 2 1 6 23 0 m m. Chọn D. Ví dụ 2: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y x 1 cắt đồ thị hàm số 2 1 x m y x tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương.
Lời giải: Điều kiện: x ≠ 1. Phương trình hoành độ giao điểm 2 2 1 2 10 1 x m x x xm x. Để cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương thì phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt khác 0 1 10 2 0 20 1 12 1 m S m m P m. Chọn A. Ví dụ 3: Cho hàm số 1 1 x y C x và đường thẳng dy x m. Gọi S là tập hợp các giá trị của m để d cắt (C)tại 2 điểm phân biệt có hoành độ 1 2 x x thỏa mãn 2 2 1 2 x x 9. Tổng các phần tử của tập hợp S là: Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là 2 1 1 x x. Để đồ thị (C) cắt d tại 2 điểm phân biệt ⇔ g x 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1.
Khi đó gọi 1 2 x x là nghiệm của PT g x 0. Theo Viet ta có: 1 2 xx m. Ta có: 22 x m m (thỏa mãn (*)). Vậy S T 3 1 2. Chọn C. Ví dụ 4: Cho hàm số: 2 1 1 x y C x và đường thẳng dy x m 2. Gọi S là tập hợp các giá trị của m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ 1 2 x x thỏa mãn 1 2 1 2 x x. Tổng các phần tử của tập hợp S là? A. 8 B. 9 C. 10 D. -1. Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d: 2 2 1 1 2 x m x g x x mx m. Để đồ thị (C) cắt d tại 2 điểm phân biệt ⇔ g x 0 có 2 nghiệm phân biệt khác -1.
Khi đó gọi 1 2 x x là nghiệm của PT g x 0. Theo Viet ta có: x x m x x. Khi đó 2 2 2 1 9 (t/m). Vậy S T {9 1 8}. Chọn A. Ví dụ 5: Cho hàm số 1 2 x y C x và đường thẳng dy x m. Số các giá trị của tham số m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho AB 4 2 là A. 2 B. 1 C. 0 D. 3. Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d: 2 1 2 x m x gx x m x m (1). Để đồ thị (C) cắt d tại 2 điểm phân biệt g x 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 2. Khi đó gọi 1 1 2 2 Ax x m Bx x m là 2 tọa độ các giao điểm. Theo Viet ta có: 1 2 1 2 3 2 1 xx m xx m. Ta có. Vậy m m 3 1 là các giá trị cần tìm. Chọn A.
Ví dụ 6: Cho hàm số 2 1 1 x y C x và đường thẳng dy x m 2. Số các giá trị của m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho OA OB 10 trong đó O là gốc tọa độ. Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d: 2 2 1 1 2 (1). Để đồ thị (C) cắt d tại 2 điểm phân biệt ⇔ g x 0 có 2 nghiệm phân biệt khác -1. Khi đó gọi 11 2 2 Ax x m Bx x m là 2 tọa độ các giao điểm Theo Viet ta có: 1 2 m OA OB x. Vậy m = −3 là các giá trị cần tìm. Chọn B. Ví dụ 7: Cho hàm số 1 2 x y C x và đường thẳng dy x m. Gọi m là giá trị để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho trọng tâm tam giác OAB thuộc đường thẳng x y 0. Tính độ dài AB khi đó.