Sự tương giao của đồ thị hàm số bậc ba

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Sự tương giao của đồ thị hàm số bậc ba, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Sự tương giao của đồ thị hàm số bậc ba:
Dạng 4: Sự tương giao của đồ thị hàm số bậc 3 Phương pháp giải: Xét đồ thị 3 2 C y ax bx cx d a 0 và đường thẳng d y kx. Hoành độ giao điểm của y xm và (C) là nghiệm của phương trình 3 2 3 2 ax bx cx d kx ax bx x k x d 0 (1) → Số giao điểm của d và (C) là nghiệm của phương trình (1). Trường hợp 1: Phương trình (1) có một nghiệm đẹp o x x. Khi đó (1) thành 2 2 0 0 o o x x Ax Bx C g x Ax Bx C. – Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt ⇔ g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 0 0 g x o o x g x. Gọi 1 2 x x là nghiệm của phương trình g(x) = 0 khi đó tọa độ các giao điểm của d và (C) là: A x kx x kx x kx trong đó 1 2 x x A (Định lý Viet).
Phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt ⇔ g(x) = 0 có nghiệm kép khác o x hoặc g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt, trong đó 1 nghiệm bằng o x và nghiệm còn lại khác o x. – Phương trình (1) có nghiệm duy nhất ⇔ g(x) = 0 vô nghiệm hoặc g(x) = 0 = có nghiệm kép o x x. Trường hợp 2: Phương trình (1) không có một nghiệm đẹp o x x nhưng cô lập được tham số. Khi đó ta biến đổi (1) thành ϕ x hm. Từ đó số nghiệm của (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số y x ϕ và y hm. Lập bảng biến thiên cho hàm số y x ⇒ Kết luận. Ví dụ 1: Cho hàm số 3 2 yx x C 231. Tìm giá trị của tham số m để (C) cắt đường thẳng y mx 1 tại 3 điểm phân biệt.
Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm là 3 2 3 2 gx x x m. ĐK cắt tại 3 điểm phân biệt 9 98 0 g m m. Chọn D. Ví dụ 2: Tìm m để đồ thị hàm số 2 2 y x x m xm m 2 21 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. A. Không tồn tại m B. m 1 hoặc m 2 C. m m 1 2 D. ∀ m. Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (C) và trục hoành là x x m xm m. Đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt ⇔ (1) có 3 nghiệm phân biệt ⇔ f x 0 có hai nghiệm phân biệt f m m mm. Chọn C. Ví dụ 3: Số các giá trị nguyên của tham số m để m [-10;10] đường thẳng y x 4 5 cắt đồ thị của hàm số 3 yx m x m 2 1 tại ba điểm phân biệt là A. 10 B. 11 C. 12 D. 13.
Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm là 3 3 x m xm x. Hai đồ thị có giao điểm khi và chỉ khi PT (*) có ba nghiệm phân biệt, khi đó PT f x 0 có 2 nghiệm phân biệt 0 1 20 3. Kết hợp m [-10;10] m có 12 giá trị của m. Chọn C. Ví dụ 4: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 2 C y x x mx m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương. Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm là 2 f x x mx m (C) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương ⇔ PT f x 0 có hai nghiệm x x 0 2. Suy ra: 3 (2) 0 44 0 m m m x x m. Chọn A. Ví dụ 5: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho đồ thị của hàm số 3 2 y x x m xm 3 (2) và đồ thị hàm số y x 2 2 có ba điểm chung phân biệt.
Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hai hàm số là: Đồ thị hai hàm số có ba điểm chung phân biệt khi và chỉ khi pt (*) có ba nghiệm phân biệt. Khi đó 2 2 2 0 x fx x x m. Yêu cầu bài toán f x 0 1 20 3 f m m. Chọn A. Ví dụ 6: Cho hàm số 2 y x x mx C 1 1. Số các giá trị của m thỏa mãn đồ thị (C) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ 123 xx thỏa mãn 222 1 23 xx 10 là? Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục Ox là: 2 3 x x mx f x x mx. Đồ thị (C) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt ⇔ (1) có 3 nghiệm phân biệt ⇔ g 0 x có 2 nghiệm phân biệt và 2 nghiệm đó khác 1 2 2 40 4 ∆. Khi đó cho 3 x 1 và 1 2 x x là nghiệm của PT g(x) 0. Theo định lý Viet ta có: 1 2 x x.
Theo đề bài ta có: xx m 10 2 9 2 9. Vậy m = ± 11 là giá trị cần tìm. Chọn B. Ví dụ 7: Cho hàm số 3 y x mx m C 1. Gọi mo là giá trị của m để đồ thị (C) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ 123 xx thỏa mãn: 123 111 A 2 xx. Khi đó: Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục Ox là: 3 x mx m 1 0 3 2 3 x m gx x x m. Để đồ thị (C) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt ⇔ (1) có 3 nghiệm phân biệt (1) 3 0 m m g m. Khi đó gọi 3 x 1 và 1 2 x x là nghiệm của PT g(x) = 0. Theo Viet ta có: 1 2 xx m. Do vậy 1 2 A m tm xx m. Vậy m = 2 là giá trị cần tìm. Chọn B. Ví dụ 8: Cho hàm số 3 2 y x mx 2 1có đồ thị (Cm) với m là tham số thực. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để (Cm) cắt đường thẳng dy x 1 tại ba điểm phân biệt có hoành độ 123 xx thỏa mãn 22 xx 20.
Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm x mx x x x mx. Ta có d cắt (Cm ) tại 3 điểm phân biệt ⇔ (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 2 2. Giả sử 3 x 0 khi đó 1 2 x x là 2 nghiệm của (1), theo Viet có 1 2 1 2. Do đó 2 2 93 3 20 2 20 4 2 20 m. Mà m m 2 1 0. Chọn C. Ví dụ 9: Cho hàm số 3 y x xC và đường thẳng d y mx 1. Gọi mo là giá trị của m để đồ thị (C) cắt đường thẳng d tại 3 điểm phân biệt A; B; C sao cho điểm 1 9 2 M là trung điểm của đoạn AB trong đó C(1;0). Khi đó: Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng d là: 2 xx mx 1 10. Đồ thị (C) cắt d tại 3 điểm phân biệt ⇔ (1) có 3 nghiệm phân biệt ⇔ g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt và 2 nghiệm đó khác 1 14 0 4 10.