Sử dụng tính chất tiếp tuyến để tìm quỹ tích

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 9 bài viết Sử dụng tính chất tiếp tuyến để tìm quỹ tích, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 9.

Nội dung bài viết Sử dụng tính chất tiếp tuyến để tìm quỹ tích:
Việc sử dụng tính chất của tiếp tuyến để tìm quỹ tích điểm M được hiểu là việc khai thác các tính chất đó để chỉ ra tính chất của điểm M trong phần thuận của bài toán quỹ tích. Ví dụ 1. Cho đường tròn (O;2 cm) và một điểm A chạy trên đường tròn đó. Từ A vẽ tiếp tuyến x y. Trên tia Ax lấy điểm M, trên tia A y lấy điểm N sao cho AM = AN = 2 p 3 cm. Tìm quỹ tích các điểm M và N. Lời giải. O M A N Phần thuận: Với hai điểm M, N điểm A thỏa mãn điều kiện đầu bài. Trong 4OMN ta có OA là đường cao và trung tuyến nên 4OMN cân tại O. Suy ra OM = ON. Trong 4OAM vuông tại A, ta có OM = p OA2 + M A2 = 4 cm. Do đó M, N cùng thuộc đường tròn (O;4 cm). Phần đảo: Lấy điểm A bất kì trên (O;2 cm). Từ A vẽ tiếp tuyến x y với đường tròn (O;2 cm) cắt đường tròn (O;4 cm) tại M và N. Chứng minh AM = AN = 2 p 3 cm. Thật vậy, OA ⊥ MN nên AM = AN = p OM2 −OA2 = 2 p 3 cm. Kết luận: Quỹ tích của các điểm M, N là đường tròn (O;4 cm). Ví dụ 2. Cho đường tròn (O;R). Tìm quỹ tích của điểm A mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến AB, AC đến (O;R) sao cho BAC = 60◦.
Lời giải. A O B C Phần thuận: Giả sử tồn tại điểm A thỏa mãn điều kiện đầu bài. Trong 4OAB ta có BAO = 1 2 BAC = 30◦ (do 4OAB = 4OAC). Do đó OB = 1 2 OA ⇒ OA = 2OB = 2R. Vậy nên A thuộc đường tròn (O;2R). Phần đảo: Lấy điểm A bất kì trên đường tròn (O;2R). Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O;R). Ta cần chứng minh BAC = 60◦. Trong 4OAB, ta có OB = 1 2 OA ⇒ BAO = 30◦ ⇒ BAC = 2BAO = 60◦. Kết luận: Quỹ tích của điểm A là đường tròn (O;2R). Nhận xét. 1 Trong lời giải trên, dựa vào dạng đặc biệt của 4OAB vuông tại B, chúng ta tính được độ dài đoạn OA bằng cách sử dụng hệ thức lượng giác cho góc BAO. 2 Chúng ta sẽ đi giải bài toán tổng quát là “Cho đường tròn (O;R). Tìm quỹ tích của điểm A mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến AB, AC đến (O;R) sao cho BAC = 2α”. Ta sẽ lần lượt thực hiện: Phần thuận: Giả sử tồn tại điểm A thỏa mãn điều kiện đầu bài. Trong 4OAB ta có BAO = 1 2 BAC = α (do 4OAB = 4OAC). Do đó OB = OA sinα ⇒ OA = R sinα. Vậy nên A thuộc đường tròn µ O; R sinα. Phần đảo: Lấy điểm A bất kì trên đường tròn µ O; R sinα. Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O;R). Ta cần chứng minh BAC = 2α. Trong 4OAB, ta có sinBAO = OB OA = R R sinα = sinα ⇒ BAO = α ⇒ BAC = 2α. Kết luận: Quỹ tích của điểm A là đường tròn µ O; R sinα