Sử dụng đồ thị kết hợp phương pháp đặt ẩn phụ để biện luận số nghiệm phương trình

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Sử dụng đồ thị kết hợp phương pháp đặt ẩn phụ để biện luận số nghiệm phương trình, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Sử dụng đồ thị kết hợp phương pháp đặt ẩn phụ để biện luận số nghiệm phương trình:
Dạng 3: Các bài toán sử dụng đồ thị kết hợp phương pháp đặt ẩn phụ Bài toán: Cho hàm số y = f(x). Biện luận số nghiệm của phương trình f ux m. Phương pháp giải: Bước 1: Đặt t = u(x) ta cần xác định miền giá trị của t và tương ứng với mỗi giá trị của t có bao nhiêu giá trị của x. (Ta có thể lập bảng biến thiên hàm số t = u(x) để nhận xét và tìm miền của t ). Bước 2: Dựa vào đồ thị, biện luận số nghiệm của phương trình ft m từ đó suy ra số nghiệm của phương trình f ux m.
Ví dụ 1: [Đề thi tham khảo năm 2018] Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f xm (sin) có nghiệm thuộc khoảng (0;π) là A. [−1;3) B. (−1;1) C. (−1;3) D. [−1;1) Lời giải Đặt t x sin với x t 0 0 1 π. Khi đó f x m ft m (sin). Dựa vào đồ thị hàm số, để ft m có nghiệm thuộc (0;1] ⇔ 1 m. Chọn D. Ví dụ 2: Cho hàm số 3 2 y fx x x 3 1 liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Số các giá trị nguyên của tham số m để phương trình fx xm 1 có nghiệm thuộc đoạn [0;1] là? A. 2 B. 3 C. 4 D. 5.
Lời giải: Đặt 2 t x x t x xt 1 21 0 Theo bất đẳng thức Cosi ta có: 1 1 1 2 2 x x. Do đó 2 1 21 2 t t. Vậy x t [0 1 1 2 ]. Ta có: f f (1 1 2 2 2 5). Kết hợp đồ thị suy ra phương trình ft m có nghiệm thuộc đoạn 1 2 thì m 2 2 5 1. Vậy có 2 giá trị nguyên của m 2 1 để phương trình đã cho có nghiệm. Chọn A. Ví dụ 3: Cho hàm số 4 2 y fx x 2 liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Số các giá trị nguyên của tham số m để phương trình 4 2 1 sin 2 1 sin x xm có nghiệm là: A. 2 B. 8 C. 3 D. 9 Lời giải: Đặt t x 1 sin ta có: sin 1 1 0 2 x t. Ta có: f (2 8). Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy t ft [0;2] [-8;1]. Vậy phương trình 4 2 1 sin 2 1 sin x xm có nghiệm khi m [-8;1]. Kết hợp m có 9 giá trị của m. Chọn D.
Ví dụ 4: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm của phương trình f fx là: A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 Lời giải Đặt 0 t fx a t fx ft t fx b t fx c dựa vào đồ thị ta có: a b c. Khi đó dựa vào đồ thị ta lại có phương trình fx a có 1 nghiệm, phương trình fx b và phương trình fx c đều có 3 nghiệm. Do đó phương trình f fx có 7 nghiệm. Chọn B. Ví dụ 5: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R và có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Đặt gx f f x. Số nghiệm của phương trình g x 0 là: A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 Lời giải Ta có: f x gx f xf fx f fx. Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy 2 0 0 0 x f x f x có 2 nghiệm phân biệt x x 2 0.
Lại có: 2 00 f x f fx f x. Phương trình f x −2 có 2 nghiệm x x 2 0 (nghiệm x = −2 bị lặp). Phương trình f x 0 có 3 nghiệm phân biệt. Do đó phương trình g x 0 có 6 nghiệm phân biệt. Chọn A. Ví dụ 6: Cho hàm số 4 2 y fx x 2 1 có đồ thị như hình vẽ bên. Số giá trị nguyên của m để phương trình f fx m có nghiệm x [-1;1]. A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy với x fx [-1;1] [1;2]. Đặt t fx xét phương trình ft m với t [1;2] Dựa vào đồ thị hàm số với t ft [1;2] [-7;2]. Do đó phương trình f fx m có nghiệm x m. Kết hợp m có 10 giá trị của m. Chọn A. Ví dụ 7: Cho hàm số 1 1 x y x có đồ thị như hình vẽ. Tìm m để phương trình sin 1 sin 1 x m có nghiệm 0 2 x π.
Lời giải Ta có: 0 sin 1 0 x x π. Đặt 1 sin 1 t tx m t với t [-1;0) Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình ft m có nghiệm t m. Chọn D. Ví dụ 8: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây x −∞ −1 1 +∞ y′ + 0 − 0 + y 2 +∞ −∞ 0. Số nghiệm của phương trình f fx là: A. 4 B. 7 C. 6 D. 3 Lời giải Đặt gx f f x ta có: f x gx f xf fx f fx. Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy 1 0 0 1 x f x f x có 2 nghiệm phân biệt x = ±1. Lại có: 1 0 1 f x f fx f x. Phương trình f x −1 có một nghiệm duy nhất. Phương trình f x 1 có 3 nghiệm phân biệt. Do đó phương trình g x 0 có 6 nghiệm phân biệt. Chọn C.