VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 8 bài viết Sơ đồ Hoóc-ne, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 8.
Nội dung bài viết Sơ đồ Hoóc-ne:
1. Ví dụ VÍ DỤ 5. Chia các đa thức (x 3 − 5x a) 2 + 8x − 4) : (x − 2); (x 3 − 9x b) 2 + 6x + 10) : (x + 1); (x c) 3 − 7x + 6) : (x + 3). LỜI GIẢI. Đặt tính chia đa thức, ta được kết quả 1 Thương là x 2 − 3x + 2. 2 Thương là x 2 − 10x + 16, dư là −6. 3 Thương là x 2 − 3x + 2. 2. Sơ đồ Hoóc-ne Ta có thể tìm được kết quả khi chia đa thức f(x) cho nhị thức x − a (a là hằng số) bằng một cách khác. Trở lại câu a) ở ví dụ trên (x 3 − 5x 2 + 8x − 4) : (x − 2). Các hệ số của đa thức bị chia thứ tự là 1, −5, 8, −4; hằng số a trong ví dụ này bằng 2.
1 Đặt các hệ số của đa thức bị chia theo thứ tự vào các cột của dòng trên. 1 −5 8 −4 a = 2 2 Trong 4 cột để trống ở dòng dưới, ba cột đầu cho ta các hệ số của đa thức thương, cột cuối cùng cho ta số dư. – Số ở cột thứ nhất của dòng dưới bằng số tương ứng ở dòng trên. 1 −5 8 −4 a = 2 1 – Kể từ dòng thứ hai, mỗi số ở dòng dưới được xác định bằng cách lấy a nhân với số cùng dòng liền trước, rồi cộng với số cùng cột ở dòng trên. 1 −5 8 −4 a = 2 1 2 · 1 + (−5) = −3 1 −5 8 −4 a = 2 1 2 · 1 + (−5) = −3 2 · (−3) + 8 = 2 1 −5 8 −4 a = 2 1 2 · 1 + (−5) = −3 2 · (−3) + 8 = 2 2 · 2 + (−4) = 0 Sơ đồ a × + Ta có thương bằng x 2 − 3x + 2, số dư bằng 0. Sơ đồ của thuật toán trên được gọi là sơ đồ Hoóc-ne. Bạn đọc hãy dùng sơ đồ trên để kiểm tra lại kết quả của các câu b) và c).
Như vậy nếu đa thức bị chia là aox 3+a1x 2+a2x+a3, đa thức chia là x−a, ta được thương b0x 2+b1x+b2, dư r. Theo sơ đồ Hoóc-ne, ta có a0 a1 a2 a3 a b0 = a0 b1 = ab0 + a1 b2 = ab1 + a2 r = ab2 + a3 3. Sơ đồ Hoóc-ne Tổng quát với đa thức bị chia là a0x n + a1x n−1 + a2x n−2 +… + an−1x + an, đa thức chia là x − a, thương là b0x n−1 + b1x n−2 +… + bn−2x + bn−1, dư r. Ta cần chứng minh rằng b0 = a0 b1 = ab0 + a1 b2 = ab1 + a2… bn−1 = abn−2 + an−1 r = abn−1 + an. Thật vậy, thực hiện phép tính (x − 1)(b0x n−1 + b1x n−2 +… + bn−2x + bn−1) + r rồi rút gọn, ta được b0x n + (b1 − ab0)x n−1 +… + (bn−1 − abn−2)x − abn−1 + r. Đồng nhất đa thức này với đa thức bị chia, ta được b0 = a0 b1 − ab0 = a1 b2 − ab1 = a2… bn−1 − abn−2 = an−1 r − abn−1 = an. Từ đó, suy ra điều phải chứng minh.
4. Áp dụng sơ đồ Hoóc-ne để tính giá trị của đa thức f(x) tại 4x = a Sơ đồ Ho óc-ne cho ta thương và dư khi chia đa thức f(x) cho nhị thức x − a. Chú ý rằng theo định lí Bê-du, số dư khi chia f(x) cho x − a bằng f(a). Do đó, dùng sơ đồ Hoóc-ne ta cũng tính được giá trị của đa thức f(x) tại x = a. VÍ DỤ 6. Tính giá trị của đa thức f(x) = x 3 + 3x 2 − 4 tại x = 37. LỜI GIẢI. Theo định lý Bê-du, f(37) là số dư khi chia f(x) cho x − 37. Ta lập sơ đồ Hoóc-ne 1 3 0 −4 a = 37 1 37 · 1 + 3 = 40 37 · 40 + 0 = 1480 37 · 1480 − 4 = 54756 Vậy f(37) = 54756.