Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:
Dạng 3: Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn. Ví dụ 1: Cho điểm A(3;0;0) và điểm M (0;2;-1). Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua A, M sao cho (α) cắt các trục Oy, Oz lần lượt tại các điểm B, C sao cho 1 2 VOABC với O là gốc tọa độ. Lời giải Giả sử mặt phẳng (α) cắt các trục Oy Oz lần lượt tại B (0;b;0) và C (0;0;c). Phương trình mặt phẳng (ABC) là: 1 3 xyz b c (bc ≠ 0).
Do (α) đi qua điểm M (0;2;-1) nên 21 1 2 2 1 1 2 b b c bc cb b b. Lại có: 1 11 6 62 V OAOB OC bc bc OABC. Khi đó: 2 b b. Với 11 311 xyz b c ⇒ α. Với 1 2 21 2 32 x y b c z. Ví dụ 2: Cho điểm A(−1;0;0) và mặt phẳng (Px y): 2 20. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, vuông góc với (P) và cắt các trục Oy, Oz lần lượt tại các điểm B, C sao cho 3 2 ABC S.
Lời giải: Giả sử mặt phẳng (α) cắt các trục Oy, Oz lần lượt tại B (0;b;0) và C (0;0;c). Phương trình mặt phẳng (ABC) là: 1 1 x yz b c. Do 2 01 0 2 ABC P n n ABC P b b. Khi đó: 2 22 ABC c AB AC c S AB AC c c. Suy ra : 1 2 1 y z ABC x. Ví dụ 3: Cho mặt phẳng (P xyz) 2 5 0. Viết phương trình (Q) chứa đường ∆ ∩ (PxOy) và cắt các trục tọa độ tại A, B, C sao cho 125 36 VOABC.
Lời giải: Ta có: 5 2 1 x t xOy z y t u z ∆. Do (Q) chứa đường thẳng ∆ ⇒ (Q) qua điểm (0;-5;0). Giả sử : 1 5 xyz Q a c (a c 0) 5 Q n a c. Ta có: 12 5 5 2 Q n u a ∆. Lại có: 1 125 1 5 6 36 6 2 36 3 5 5 5 OABC y V abc c c ABC x z. Hay 2 3 50 xy z. Ví dụ 4: Cho hai điểm M (1;2;1) ,N (1;0;-1). Viết (P) đi qua M, N và cắt các trục Ox, Oy theo tứ tự tại A, B (khác O) sao cho AM BN 3.
Lời giải: Gọi A (a;0;0), B (0;b;0) và C (0;0;c) là giao điểm của (P) với các trục tọa độ. Phương trình mặt phẳng (P) là: 1 xyz abc (abc ≠ 0). Do (P) đi qua các điểm M (1;2;1) N (-1;0;-1). Lại có: 2 2 AM BN AM BN a. Khi đó 4 1 31 3 xy z P hay (Px y z) 3 4 30. Ví dụ 5: Cho hai điểm M (1;9;4). Viết (P) đi qua M và cắt các trục tọa độ theo thứ thự tại A, B, C (khác O) sao cho 8 12 16 37 OA OB OC với 0 0 0 A BC xyz.
Lời giải Gọi A (a;0;0), B (0;b;0) và C(0;0;c) với abc. Khi đó phương trình mặt phẳng (ABC) là: 1 xyz abc. Do 194 M ABC 1 9 4 1 abc. Mặt khác OA a a OB b b OC c c hay (Px y z): 8 20 37 40 0. Ví dụ 6: Phương trình mặt phẳng đi qua 2 điểm A(3;0;0) và B(0;6;0) cắt trục Oz tai C sao cho thể tích tứ diện O ABC bằng 12 là? Cả A và B đều đúng Lời giải Giả sử C c ta có phương trình mặt phẳng (ABC) là? Ta có OA OB OC đôi một vuông góc nên 1 1 3 6 12 4 V OAOB OC c c OABC. Chọn D.
Ví dụ 7: Gọi A, B, C là giao điểm của mặt phẳng : 1 y z P x b c (bc ≠ 0) với các trục tọa độ. Diện tích tam giác ABC bằng? Lời giải: Ta có: A Bb C c AB b AC c. Khi đó: b c bc S AB AC bc c b. Chọn C. Ví dụ 8: Trong không gian tọa độ Oxyz cho các điểm A(2;0;0) và H (1;1;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, H sao cho (P) cắt các tia Oy, Oz lần lượt tại B, C sao cho diện tích tam giác ABC bằng 4 6.
Lời giải: 2 xyz P b c. Vì H P nên 111 b c 2. Đặt 2 2 4 2 384 6 12 16 ubc v u u v b c. Vậy phương trình mặt phẳng (P) là 1 244 xyz hay 2 40 xyz. Chọn D. Ví dụ 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A (a;0;0), B (0;b;0) và C (0;0;c) với abc 0. Biết rằng (ABC) đi qua điểm 123 M và tiếp xúc với mặt cầu 7 Sx y z. Tính giá trị 222 111 abc.
Lời giải: Phương trình mặt phẳng (ABC) là 1 xyz abc. Vì 123 M ABC 7 abc. Xét mặt cầu 2 22 72 7 Sx y z có tâm I (1;2;3) bán kính 6 14 7 R. Khoảng cách từ I mp ABC là 222 123 1 6 abc d I ABC abc abc. Vì mặt cầu (S) tiếp xúc với mp ABC 222 1 117 2 mp ABC d I ABC R abc. Chọn D.