Phương trình lượng giác thuần nhất đối với sinx và cosx

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Phương trình lượng giác thuần nhất đối với sinx và cosx, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.

Nội dung bài viết Phương trình lượng giác thuần nhất đối với sinx và cosx:
Dạng 1: Phương trình thuần nhất đối với sin x và cos x. Ví dụ 1. Giải các phương trình sau: a) cos x 3 sin x 2 b) 6 sin x cos x 2 Lời giải: a) 1 3 2 2 cos x 3 sin x 2 cos x sin x cos x 7 x k2 x k2 3 4 12 k Z x k2 x k2 3 4 12. b) 6 1 1 3 3 sin x cos x cos x sin x cos x 2 2 4 2 2 2 5 x k2 x k2 4 6 12 k Z x k2 x k2 4 6 12. Ví dụ 2. Giải các phương trình sau a) 3 cos3x sin 3x 2 b) sin x cos x 2 sin 5x Lời giải: a) 3 1 2 2 3 cos3x sin 3x 2 cos3x sin 3x cos 3x 2 2 2 6 2 5 2 3x k2 x k 6 4 36 3 k Z 3x k2 x k 6 4 36 3. b) 1 1 sin x cos x 2 sin 5x cos x sin x sin 5x sin x sin 5x 2 2 4 5x x k2 x k 4 16 2 k Z 3 5x x 2k x k 4 24 3.
Ví dụ 3. Giải các phương trình sau a) 3 1 sin x 3 1 cos x 3 1 0 b) 3 sin 2x sin 2x 1 2 Lời giải: a) 3 1 sin x 3 1 cos x 3 1 0 3 sin x cos x sin x cos x 3 1 0 3 1 6 cos x 2 sin x 3 1 0 3 cos x sin x 4 4 4 4 2 6 2 6 2 cos x cos x 4 6 4 12 4 5 x k2 x k2 12 12 3 k Z 5 x k2 x k2 12 12 2. Vậy phương trình có nghiệm x k2 3 x k2 2 k Z. b) 1 3 sin 2x sin 2x 1 3 sin 2x cos 2x 1 cos 2x 2x k2 x k 3 3 k Z. Vậy phương trình có nghiệm x k 3 x k k Z.
Ví dụ 4. Giải các phương trình sau a) 3 3sin 3x 3 cos9x 1 4sin 3x b) 4 4 1 sin x cos x 4 4 Lời giải: a) 3 3 3sin 3x 3 cos9x 1 4sin 3x 3 cos9x 3sin 3x 4sin x 1 2 9x k2 x k 1 6 3 54 9 3 cos9x sin 9x 1 cos 9x 6 2 2 9x k2 x k 6 3 18 9. Vậy phương trình có nghiệm 2 x k 54 9 2 x k 18 9 k Z. b) Ta có 4 1 1 1 sin x cos x sin x cos x sin x 4 4 2 2 2 1 1 sin x 1 cos x 1 2sin x cos x sin x 1 cos x 2sin x cos x 2 2sin x cos x. Vậy phương trình có nghiệm x k x k 4 k Z.
Ví dụ 5. Giải các phương trình sau a) cos 7x sin 5x 3 cos5x sin 7x b) tan x 3cot x 4 sin x 3 cos x Lời giải: a) cos 7x sin 5x 3 cos5x sin 7x cos 7x 3 sin 7x 3 cos5x si n 5x 7x 5x k2 x k 6 12 2cos 7x 2cos 5x k Z 3 6 7x 5x k2 x k 6 72 6. Vậy phương trình có nghiệm x k 12 x k 72 6 k Z. b) Điều kiện: sin x cos x 0 PT sin x cos x tan x 3cot x 4 sin x 3 cos x 3 4 sin x 3 cos x 0 cos x sin x 2 2 sin x 3cos x sin x 3 cos x 4 sin x 3 cos x 0 sin x 3 cos x 4 0 sin x cos x sin x cos x 2sin x 4sin x cos x cos x sin x sin 2x (thỏa mãn). Vậy phương trình có nghiệm x k 3 x k2 3 4 2 x k 9 3 k Z.
Ví dụ 6. Giải các phương trình sau a) 3 1 cos 2x cos x 2sin x b) 2 1 sin 2x sin x 2 Lời giải: a) Điều kiện: sin x 0 PT 3 1 cos 2x cos x 3 3 cos 2x 2sin x cos x sin 2x 3 cos 2x 3 sin x 2x k2 x k 3 6 6 cos 2x k Z 6 2 x k 2x k2 6. Vậy phương trình có nghiệm x k x k 6 k Z. b) 2 2 1 sin 2x sin x sin 2x 1 2sin x sin 2x cos 2x sin 2x cos 2x 0 1 2 sin 2x cos 2x 0 cos 2x 0 2x k x k (với 1 1 2 sin cos 5 5 2 2). Vậy phương trình có nghiệm x k 4 2 2 k Z.
Ví dụ 7. Giải các phương trình sau a) 1 cos x 3 sin x cos x b) 2 6 cos 7x 3 sin 7x 2 0 5 7. Lời giải: a) ĐKXĐ: cos x 0 1 2 2 cos x 3 sin x cos x 1 3 sin x 0 3 sin x sin x 0 sin x 3 sin x 0 cos x sin x 0 x k k Z. Vậy phương trình có nghiệm k k Z. b) 3 5 x k2 x k2 2 3 4 12 cos 7x 3 sin 7x 2 0 cos x. Do 2 6 5 x x 5 7 12. Vậy 5 x 12 là nghiệm cần tìm. Ví dụ 8. Giải các phương trình sau a) 2sin15x 3 cos5x sin 5x 0 b) 6 sin x 3 cos x 4 sin x 3 cos x 1.
Lời giải: a) PT 3 1 cos5x sin 5x sin15x sin 5x sin 15x 5x 15x k2 x 3 60 10 k 5x 15x k2 x 3 15 5. Vậy nghiệm của PT là: k x 60 10 k x 15 5 k Z. b) Đặt t sin x 3 cos x 2sin x t ta có PT 2 2 6 t 1 t 4 t t 6 4t 4 t 3t 2 0 tm + Với x k2 x k2 1 3 6 6 t 1 sin x 3 2 5 x k2 x k2 3 6 2 + Với t 2 sin x 1 x k2 x k2 3 3 2 6. Vậy PT có nghiệm là: x k2 x k2 k Z 6 2. Ví dụ 9. Giải các phương trình sau a) 3 3 sin x cos x 3 sin x cos x 1 b) 2 cos x 2sin x cos x 3 2cos x sinx 1.