Phương trình lượng giác dạng đối xứng

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Phương trình lượng giác dạng đối xứng, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.

Nội dung bài viết Phương trình lượng giác dạng đối xứng:
Dạng 3: Phương trình đối xứng Ví dụ 1. Giải các phương trình sau a) 2 sin x cos x sin 2x 1 0 b) sin x.cos x 6 sin x cos x 1 Lời giải: a) 2 2 2 sin x cos x sin 2x 1 0 2 sin x cos x 2sin x.cos x sin x c os x 0 sin x cos x sin x cos x 2 0 2 cos x . sin x cos x 2 0 cos x 0 x k k Z 4 4 sin x cos x 2 sin x cos x 1 do sin x 1 cos x 1. Vậy phương trình có họ nghiệm 3 x k k Z 4 b) sin x.cos x 6 sin x cos x 1 2sin x.cos x 1 12 sin x cos x 13 cos x sin x 12 cos x sin x 13 0 cos x sin x 1 1 x k2 cos x k Z 2 cos x sin x 13. Vậy phương trình có họ nghiệm x k2 x k2 2.
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau a) sin 2x 2 sin x 1 4 b) tan x 2 2 sin x 1. Lời giải: a) sin 2x 2 sin x 1 sin x cos x 2 sin x 0 4 4 2 2sin x 2 sin x 0 2 sin x 2 sin x 1 0 x k sin x 0 4 4 x 2k k Z 1 sin x 4 2 x 2k. Vậy phương trình có họ nghiệm x k 4 x 2k 2 x 2k k Z. b) ĐK: cos x 0 Ta có: sin x tan x 2 2 sin x 1 2 2 sin x 1 sin x 2 2 sin x.cos x cos x 0 cos x 2 2 sin x cos x 2 sin x cos x 1 0 2 2 cos x 2 cos x 2 0 4 cos x 1 4 5 2 cos x 1 2cos x 1 0 x k2 k Z 4 4 12 1 cos x 4 2 11 x k2 12. Vậy phương trình có họ nghiệm x k2 4 5 x k2 12 11 x k2 12.
Ví dụ 3. Giải các phương trình sau a) 1 1 tan x 2sin x cos x b) 1 1 sin x cos x tan x cot x Lời giải: a) ĐK: cos x 0 1 1 tan x 2sin x cos x sin x 2sin x.cos x 1 cos x cos x sin x cos x sin x 2 0 cos x 2 cos x sin x 2 4 x k2 2 k Z cos x sin x 1 1 cos x x k2 4 2. Vậy phương trình có họ nghiệm x k2 x k2 k Z. b) ĐK: sin x cos x 0. Ta có: 1 2 2 sin x cos x sin x cos x sin x.cos x sin x cos x tan x cot x sin x cos x sin x cos x 0. Xét sin x cos x 0 2 sin x 0 x k 4 4. Xét sin x.cos x sin x cos x 0. Đặt t sin x cos x 2 sin x 2 cos x. Khi đó 2 t 1 2sin x.cos x phương trình có dạng: 2 1 t 2t 0 t 1 2. Đối chiếu điều kiện 1 2 t 2 t 1 2 sin x sin x k2 x k2 4 4 5 x k2 x k2. Vậy phương trình có 3 họ nghiệm.
Ví dụ 4. Giải các phương trình sau a) 1 1 10 sin x cos x sin x cos x 3 b) 2sin x cot x 2sin 2x 1 Lời giải: a) ĐK: sin x.cos x 0 1 1 10 sin x cos x 10 sin x cos x sin x cos x 3 2 2 sin x cos x sin x cos x 1 5 sin x cos x 5 0 2 19 sin x cos x 1 sin x cos x 2 do sin x cos x 2 3 (thỏa mãn). Vậy phương trình có họ nghiệm 2 19 x arccos k2 k Z 3 2 4. b) ĐK: sin x 0 cos x 2sin x cot x 2sin 2x 1 2sin x 4sin x.cos x 10 0 sin x sin x x k2 2 6. Vậy phương trình có họ nghiệm x k2 6 5 x k2 6 10 2 x arccos k2 4 4 k Z.
Ví dụ 5. Giải các phương trình sau a) 3 3 sin x cos x 2sin x.cos x sin x cos x b) 3 3 1 sin x cos x sin 2x Lời giải: a) Phương trình đã cho tương đương với 3 3 sin x cos x 2sin x.cos x sin x cos x sin x cos x 1 sin x.cos x sin x cos x 2sin x 2sin x.cos x sin x.cos x sin x cos x 0 sin x.cos x sin. Vậy phương trình có họ nghiệm x k k Z b) 3 3 1 sin x cos x sin 2x cos x sin x 1 sin x.cos x 1 2sin x. Giải (1) x k k Z. Giải (2) 3 1 2sin x.cos x 2 cos x sin x 0 3 cos x sin x 2 cos x sin x 0 cos x k Z. Vậy phương trình có họ nghiệm x k2 x k.
Ví dụ 6. Giải các phương trình sau a) 2 sin x cos x tan x cot x b) 1 sin x 1 cos x 2 Lời giải: a) ĐK: sin x cos x 0 2 2 sin x cos x 2 sin x cos x tan x cot x 2 sin x cos x sin x cos x 2 cos x 1 x k2 x k2 k Z. Vậy phương trình có họ nghiệm x k2 k Z b) 1 sin x 1 cos x 2 sin x cos x sin x cos x 1 0. Vậy phương trình có họ nghiệm x k2 x k2 2 k Z. Ví dụ 7. Giải các phương trình sau a) 3 cot x cos x 5 tanx sinx 2 b) sin x cos x sin x cos x 1 Lời giải: a) ĐK: sin x cos x 0 cos x sin x 3 cot x cos x 5 tanx sinx 2 3 cos x 5 sin x 2 0 (thỏa mãn). Vậy phương trình có họ nghiệm 2 2 x arccos k2 b) sin x cos x sin x cos x 1 2 sin x cos x 2sin x cos x 1 2. Vậy phương trình có họ nghiệm x k x k k Z.