Phương pháp sử dụng hàm số và bất đẳng thức giải bất phương trình mũ và lôgarit

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Phương pháp sử dụng hàm số và bất đẳng thức giải bất phương trình mũ và lôgarit, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Phương pháp sử dụng hàm số và bất đẳng thức giải bất phương trình mũ và lôgarit:
Phương pháp giải. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số. Sử dụng các bất đẳng thức Cauchy, Bunyakovski … để đánh giá.
Giải bất phương trình. Điều kiện của bất phương trình là c > 0. Khi đó xét hàm số f(x) = x + log y x trên (0;+x). Ta có f'(x) = 1 > 0 với mọi x > 0 nên hàm số f(x) đồng biến trên (0;+x). Mặt khác f(1) = 1 nên tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S.
Giải bất phương trình. Điều kiện của bất phương trình là 0. Khi đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số thực dương log y(c + 1) ta có. Do đó bất phương trình đã cho có tập nghiệm là S = R \ {0}. Do đó bất phương trình đã cho vô nghiệm. Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S. Do đó hàm số f(x) nghịch biến trên IR. Mặt khác f(2) = 1 nên phương trình đã cho tương đương. Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = (2;+x). Điều kiện của bất phương trình là c > 0. Đặt t = log y a suy ra c = 7t. Khi đó bất phương trình trở thành. Ta xét các khả năng sau. Do đó luôn đúng. Kết hợp hai khả năng trên ta được log y x < 2. Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S. t > 0 nên f(t) là hàm số đồng biến trên [0; +x). Mà f(1) = 2 nên f(t) < 2. Bất phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi bất phương trình (1) vô nghiệm hay m2 – 2 = 0. Do đó bất phương trình đã cho CÓ nghiệm khi và chỉ khi m < max f(t) = m < 4.