Phương pháp quy nạp toán học

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Phương pháp quy nạp toán học, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.

Nội dung bài viết Phương pháp quy nạp toán học:
PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM. Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n € N là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp thì có thể làm như sau: Bước 1. Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1. Bước 2. Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k21 (gọi là giả thiết quy nạp), chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1. Đó là phương pháp quy nạp toán học, hay còn gọi tắt là phương pháp quy nạp. Một cách đơn giản, ta có thể hình dung như sau: Mệnh đề đã đúng khi n = 1 nên theo kết quả ở bước 2, nó cũng đúng với n = 1 + 1 = 2. Vì nó đúng với n = 2 nên lại theo kết quả ở bước 2, nó đúng với n = 2 + 1 = 3. Bằng cách ấy, ta có thể khẳng định rằng mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n € N. Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên (p là một số tự nhiên) thì: Bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p; Bước 2, giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kì n = k > p và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.
PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP. Dạng 1. Chứng minh đẳng thức. Ví dụ 1. Chứng minh rằng. Bước 1: Với n = 1, vế trái bằng 1.2 = 2, vế phải bằng 2. hệ thức (1) đúng. Bước 2: Đặt vế trái bằng S. Giả sử hệ thức (1) đúng với n = k21, tức là: S. Ta phải chứng minh rằng (1) cũng đúng với n = k + 1, vậy hệ thức (1) đúng với mọi n. Dạng 2. Chứng minh bất đẳng thức. Ví dụ 1. Chứng minh rằng với mọi n > 3 ta có: Với n = 3, vế trái bằng 27, còn vế phải bằng 26. Bất đẳng thức (4) đúng. Giải sử bất đẳng thức (4) đúng với n = k > 3. Ta phải chứng minh nó cũng đúng với n = k + 1, nhân hai vế của bất đẳng thức (1′) với 3 ta có đẳng thức (1) đã được chứng minh. Dạng 3. Chứng minh một tính chất. Ví dụ. Chứng minh rằng: n – n chia hết cho 7 với mọi n. Khi n = 1 thì A = 0 chia hết cho 7. Giả sử đã có: A, áp dụng công thức nhị thức Niu-ton. Theo giả thiết quy nạp thì A = k – k chia hết cho 7.
Dạng 4. Một số bài toán khác. Ví dụ. Chứng minh rằng. Khi n = 1, vế trái bằng 2, vế phải bằng 2cos4 = 2; hệ thức (1) đúng. Giả sử hệ thức (1) đúng với n = k21, tức là C = 2cos ta phải chứng minh: Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có C. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1: Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi số tự nhiên (p là một số tự nhiên). Ở bước 1 (bước cơ sở) của chứng minh quy nạp, bắt đầu với n bằng: Câu 2: Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi số tự nhiên (p là một số tự nhiên). Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề A(n) đúng với n = k. Khẳng định nào sau đây là đúng? Câu 3: Chọn B Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi số tự nhiên (p là một số tự nhiên), ta tiến hành hai bước: Bước 1, kiểm tra mệnh đề A(n) đúng với n = p. Bước 2, giả thiết mệnh đề A(n) đúng với số tự nhiên bất kỳ n = k2p và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.
Câu 4: Một học sinh chứng minh mệnh đề “g” + 1 chia hết cho 7. Giả sử (*) đúng với n = k, tức là chia hết cho 7. Kết hợp với giả thiết chia hết cho 7 nên suy ra được chia hết cho 7. Vậy đẳng thức (*) đúng với mọi n. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Học sinh trên chứng minh đúng. B. Học sinh chứng minh sai vì không có giả thiết qui nạp. C. Học sinh chứng minh sai vì không dùng giả thiết qui nạp. D. Học sinh không kiểm tra bước 1 (bước cơ sở) của phương pháp qui nạp.