Phương pháp đổi biến tìm nguyên hàm hàm số vô tỉ (đặt x = hàm theo biến t)

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Phương pháp đổi biến tìm nguyên hàm hàm số vô tỉ (đặt x = hàm theo biến t), nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Phương pháp đổi biến tìm nguyên hàm hàm số vô tỉ (đặt x = hàm theo biến t):
DẠNG 2. ĐỔI BIẾN SỐ HÀM VÔ TỈ (Đặt x = hàm theo biến t) Mẫu 1: Nếu f(x) có chứa 2 2 a x ta đặt sin 2 2 x a tt π π 2 22 cos sin cos dx a tdt aa ta t. Mẫu 2: Dạng 2 2 x a thì đổi biến số tan 2 2 xa t t π π 2 2 cos tan cos adt dx t a ax aa t t. Mẫu 3: Dạng 2 2 x a thì ta đặt sin a x t (hoặc cos a x t) 22 cos sin cot a tdt dx t xa a t. Mẫu 4: Dạng 2 2 dx x a thì ta đặt xa t = tan. Mẫu 5: Nếu f(x) có chứa a x a x thì đặt 2 2 cos 2 2 sin 2 cos 2 1 cos 2 cos 1 cos 2 sin dx d a t a tdt xa t ax t t ax t t.
Một số kết quả quan trọng cần lưu ý khi giải trắc nghiệm: 2 2 1 arctan 0 dx x C a x a a a 2 2 1 ln 2 dx x a C x a a xa 2 2 ln 0 dx x x aCa x a 2 2 arcsin 0 dx x C a a x a. Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) 1 2 4 dx I a x b) 2 2 I x dx a c) 2 3 2 1 x dx I a x d) 2 2 4 I x x dx a 9 3. Lời giải: a) Đặt 1 2 2 2 2sin 2cos 2cos 2sin 4 4 4sin 2cos 4 2cos dx d t tdt dx tdt x t I dt t C t x tt x.
Từ phép đặt 1 2sin arcsin arcsin 2 2 x x x tt I C. b) Đặt 2 2 sin cos sin 1 1 sin cos dx d t tdt x t x tt. Khi đó 2 2 1 cos 2 1 1 1 1 cos cos cos 2 sin 2 2 2 2 24 t t I x dx t tdt dt dt tdt t C. Từ 2 2 cos 1 sin 1 2 sin sin 2 2sin cos 2 1 arcsin t tx x t t ttx x t x 2 2 arcsin 1 1 2 2 x I x xC c) Đặt 2 2 sin cos sin 1 1 sin cos dx d t tdt x t x tt. Khi đó 2 2 2 3 2 sin cos 1 cos 2 1 1 sin sin 2 1 cos 2 2 4 x dx t tdt t I tdt dt t t C t x.
Từ 2 2 cos 1 sin 1 2 sin sin 2 2sin cos 2 1 arcsin t tx x t t ttx x t x 2 3 arcsin 1 1 2 2 x I x xC d) Đặt 2 2 3sin 3cos 3sin 9 9 9sin 3cos dx d t tdt x t x tt 4 81 81 1 cos 4 9 9sin 3cos 81 sin cos sin 2 4 42 t I x x dx t tdt t tdt tdt dt 81 1 1 81 1 cos 4 sin 4 42 2 42 8 t dt tdt t C. Từ 2 2 cos 1 sin 1 2 9 2 3sin sin 2 1 3 9 arcsin 3 x t t x x x t t x t. Mà 2 2 cos 2 1 2sin 1 2 1 sin 4 2sin 2 cos 2 2 3 9 39 9 x x.
Từ đó ta được 2 2 4 arcsin 81 3 2 1 4 2 69 9 x xx x I C. Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) 1 2 1 1 dx I a x b) 2 2 I x x dx 2 5 c) 2 3 2 2 4 x dx I a x. Lời giải: a) Đặt 2 2 2 1 2 2 2 tan 1 tan 1 tan tan cos 1 tan 1 1 tan dt dx d t t dt t dt x x t I dt t C t x t. Từ giả thiết đặt 1 x t t x I xC tan arctan arctan. b) Ta có 2 2 2 1 2 25 1 4 1 4 t x I x x dx x d x I t dt. Đặt 2 2 tan cos 2 cos 2 tan 2 2 cos cos 4 4 4 tan cos cos cos du dt d u u du du udu t u I u u.