Phương pháp đổi biến tìm nguyên hàm hàm số vô tỉ (đặt t = hàm theo biến x)

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Phương pháp đổi biến tìm nguyên hàm hàm số vô tỉ (đặt t = hàm theo biến x), nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Phương pháp đổi biến tìm nguyên hàm hàm số vô tỉ (đặt t = hàm theo biến x):
DẠNG 1. ĐỔI BIẾN SỐ HÀM SỐ VÔ TỈ (Đặt t = hàm theo biến x) Mẫu 1: Đổi biến hàm số vô tỷ đơn giản Nguyên hàm f x dx trong đó n f x gx ta đặt n n t gx t gx n 1 nt dt g x dx. Khi đó f x dx h t dt. Mẫu 2: Nguyên hàm dạng x f a dx. Ta đặt ln x dt f t dt t a dt a adx dx f a dx t a t a. Mẫu 3: Nguyên hàm dạng (ln) f x dx x. Ta đặt 1 t x dt dx ln x. Khi đó ln f x dx f t dt x.
Chú ý: Nếu nguyên hàm Mẫu 2 và Mẫu 3 có chứa căn thức, ta nên đặt t bằng căn thức. Ví dụ với nguyên hàm 2 ln ln 1 x dx I x x ta nên đặt 2 22 t xt x ln 1 ln 1 1 1 2 2ln tdt x dx tdt x dx ln x x. Khi đó 2 ln 1 tdt I dt t C x C t. Ví dụ 1: Tìm các nguyên hàm sau: a) 3 2 I x x dx 4 b) 3 2 I x x dx 4. c) 1 dx I x x d) 3 1 9 I dx x x.
Lời giải: a) Đặt 2 22 t x t x t t xdx tdt xdx 4 4 2d 2. Khi đó 2 2 2 4 2 I x x xdx t t tdt t t dt 4 4 4 5 3 2 2 5 3 44 4 4 53 5 3 x x t t C C. b) Đặt 2 22 t x t x tdt xdx tdt xdx 4 42 2. Khi đó 5 2 5 3 2 34 4 4 5 5 x t I x x dx t tdt t dt C C. c) Đặt 2 t x t x tdt dx 2. Khi đó 2 2 2 2 1 1 1 2. d) Đặt 3 23 2 t x t x tdt x dx 9 92 3 Ta có: 2 3 3 3 2 13 2 93 9 3 9 x tdt I dx dx.
Ví dụ 2: Tìm các nguyên hàm sau: a) 2 1 1 x x e I dx e b) 2 ln 1 ln x I dx x x c) ln 2ln 1 x x I dx x d) ln ln 2 x I dx x x. Lời giải: a) Đặt x x t e dt e dx dt tdx. Khi đó: 2 2 2 ln ln 1 x x t dt t dt dt t I t tC e e C t t. Cách 2: 21 1 1 xx 1 ln 1 1. b) Đặt ln dx t x dt x. Khi đó 2 2 2 1 1 ln ln ln ln t tx I dt t dt t C x C. c) Đặt 2 2 2ln 1 2ln 1 2 dx dx t x t x tdt tdt x x.
Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) 1 4 1 xdx I b) 3 2 2 I x x dx 2 c) 2 3 1 x dx I x. Lời giải: a) Đặt 2 4 1 8 4 t tdt tdt dx xdx t x t x I t dt t t b) Đặt 2 2 2 2 t x t x x t xdx tdt x dx x xdx t tdt 2 x x t t I x x dx t t tdt t t dt C C. c) Đặt dx tdt t tdt x dx t xt xx t I t dt t t dt t C x C.
Ví dụ 4: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) 4 x 1 I dx x b) 5 1 13 dx I x Lời giải a) Đặt 2 2 2 4 2 t x t x I dt x t t t t b) Đặt 2 2 22 1 13 13 1 1 31 3 1 3 tdt dx tdt t x t x I dt t x t t 5 2 2 ln 1 1 3 ln 1 3 1 3 3 I tt C x x. Ví dụ 5: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) 2 6 1 1 x x e dx I e b) 7 2 1 dx I x x. Lời giải a) Đặt 2 x t t dt tdt e dx t e t e I t t dt e t t t. b) Đặt 2 7 2 tdt dx tdt t x I C C.