Phương pháp chứng minh mệnh đề

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Phương pháp chứng minh mệnh đề, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.

Nội dung bài viết Phương pháp chứng minh mệnh đề:
Dạng 02. PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH MỆNH ĐỀ. Phương pháp giải ※ Ta có các cách chứng minh sau: Cách 01 Chứng minh trực tiếp gồm các bước sau: Bước ⓵. Lấy x X bất kỳ mà P x đúng. Bước ⓶. Chứng minh Q x đúng (bằng suy luận, kiến thức toán học đã biết). Cách 02 Bước ⓵. Giả sử tồn tại 0 x X sao cho P x 0 đúng và Q x 0 sai. Bước ⓶. Dùng suy luận và các kiến thức toán học để đi đến mâu thuẫn. Bài 01. Chứng minh với mọi số tự nhiên n, ta có ⓵ Nếu n lẻ thì 3 n lẻ.
⓶ Nếu n chia hết cho 3 thì n n 1 chia hết cho 6. Lời giải ⓵ Nếu n lẻ thì 3 n lẻ. Nếu n lẻ thì n k 2 1 k. Do đó 3 3 n k. Vậy 3 n lẻ. ⓶ Nếu n chia hết cho 3 thì n n 1 chia hết cho 6. Nếu n chia hết cho 3 thì n k 3 k. Xét k m 2 thì n m 6 suy ra n n m m 1 6 2 1 chia hết cho 6. Xét k m 2 1 thì n m m 3 2 1 6 3 suy ra n n m chia hết cho 6. Vậy n n 1 chia hết cho 6. Bài 02. Chứng minh rằng ⓵ Mọi số chính phương có dạng 4k hoặc 4 1 k.
⓶ Mọi nguyên tố khác 2 đều là số lẻ. Lời giải ⓵ Mọi số chính phương có dạng 4k hoặc 4 1 k. Xét số chính phương 2 2m và. Ta có 2 4 4 m m k. ⓶ Mọi nguyên tố khác 2 đều là số lẻ. Gọi p là số nguyên tố nên p 1 chỉ chia hết cho 1 và chính p. Vì p 2 nên p không chia hết cho 2. Do đó p lẻ. Bài 03. Chứng minh với mọi x y, ta có ⓵ 2 2 x xy y ⓶ 2 4 x y. Lời giải ⓵ 2 2 x xy y 1 0. Ta có 2 2 x xy y 1 0 (đúng) ⓶ 2 2 4 Ta có Bài 04. Chứng minh rằng ⓵ Nếu a 2 thì 3 2 a a a 4 5 2 0.
Bài 05. Chứng minh rằng ⓵ Nếu a b 0 thì có ít nhất một số a hoặc b dương. ⓶ Nếu a và b là hai số dương thì a b ab 2. Lời giải ⓵ Nếu a b 0 thì có ít nhất một số a hoặc b dương. Giả sử cả a và b đều không dương suy ra a 0 và b 0 nên a b 0 : trái với giả thiết. Vậy nếu a b 0 thì có ít nhất một số a hoặc b dương. ⓶ Nếu a và b là hai số dương thì a b ab 2. Với a b dương. Giả sử a b ab 2 suy ra 2 a b ab a b 2 0 : vô lí. Vậy nếu a b là hai số dương thì a b ab 2. Bài 06. Cho số tự nhiên n. Chứng minh rằng ⓵ Nếu 2 n chẵn thì n chẵn. ⓶ Nếu 2 n chia hết cho 5 thì n chia hết cho 5.
Lời giải ⓵ Nếu 2 n chẵn thì n chẵn. Với số tự nhiên n. Giả sử n lẻ nên n k 2 1 k suy ra Do đó 2 n lẻ: trái giả thiết. Vậy nếu 2 n chẵn thì n chẵn. ⓶ Nếu 2 n chia hết cho 5 thì n chia hết cho 5. Giả sử 2 n chia hết cho 5 và n không chia hết cho 5. Nếu n k 5 1 thì không chia hết cho 5 (mâu thuẫn). Nếu n k thì 2 2 2 n k (mâu thuẫn). Vậy nếu 2 n chia hết cho 5 thì n chia hết cho 5. Bài 07. Chứng minh rằng ⓵ Nếu a b 2 thì một trong hai số a và b phải nhỏ hơn 1. ⓶ Cho n là số tự nhiên, nếu 5 4 n lẻ thì n lẻ. Lời giải ⓵ Nếu a b 2 thì một trong hai số a và b phải nhỏ hơn 1.
Giả sử a 1 và b 1 suy ra a b 2 mâu thuẫn với giả thiết. Vậy nếu a b 2 thì một trong hai số a và b phải nhỏ hơn 1. ⓶ Cho n là số tự nhiên, nếu 5 4 n lẻ thì n lẻ. Giả sử n là số tự nhiên chẵn n k 2 k N. Khi đó 5 4 10 4 2 5 2 n k k là một số chẵn (mâu thuẫn). Vậy nếu 5 4 n lẻ thì n lẻ. Bài 08. Chứng minh rằng ⓵ Một tam giác không phải là tam giác đều thì nó có ít nhất một góc nhỏ hơn 60. ⓶ Nếu x 1 và y 1 thì x y xy 1. Lời giải ⓵ Một tam giác không phải là tam giác đều thì nó có ít nhất một góc nhỏ hơn 60. Không mất tính tổng quát, có thể giả sử A B C. Vì tam giác ABC không phải là tam giác đều, ta còn có A C. Giả sử C 60 thì A B C 180 : vô lí.