Nhận dạng đồ thị hàm số trùng phương y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0)

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Nhận dạng đồ thị hàm số trùng phương y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0), nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Nhận dạng đồ thị hàm số trùng phương y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0):
II. HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG: 4 2 y ax bx c (a ≠ 0) 1. Giới hạn, đạo hàm và cực trị Giới hạn – Với a 0 thì limx y ±∞ +∞. – Với a 0 thì limx y ±∞ −∞. Đạo hàm và cực trị: 2 2 y ax bx x ax b 4 2 22 nên 2 0 y 0 2 x b x a. – Với ab ≥ 0 thì hàm số có một điểm cực trị x = 0. – Với ab 0 thì hàm số có 3 điểm cực trị 0 2 b x x a. 2. Bảng biến thiên a b 0 0 a b 0 0 x −∞ 1 x 0 2 x +∞ y − 0 + 0 − 0 + y +∞ CT CĐ CT +∞ x −∞ 1 x 0 2 x +∞ y − 0 + 0 − 0 + y −∞ CĐ CT CĐ −∞ a b 0 0 a b 0.
3. Đồ thị hàm số ab ≥ 0 ab 0 a 0 x −∞ 0 +∞ y′ – 0 + y −∞ CĐ −∞ x −∞ 0 +∞ y′ – 0 + y +∞ CT +∞ a 0 Đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng. 4. Phương pháp giải toán Để nhận diện đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương: 4 2 y ax bx c (a ≠ 0) ta làm như sau: Dựa vào limx y +∞ để xác định hệ số a : Dựa vào giao điểm với trục tung (0;d) suy ra tính chất của hệ số d Dựa vào số điểm cực trị của đồ thị hàm số và hệ số a để xác định hệ số b. – Với ab ≥ 0 thì hàm số có một cực trị. – Với ab 0 thì hàm số có 3 cực trị.
II. CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Ví dụ 1: [Đề THPT QG năm 2018] Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào dưới đây? Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: limx y +∞ +∞ ⇒ Hệ số a 0 nên ta loại đáp án A và B. Mặt khác hàm số có 3 điểm cực trị nên loại đáp án C. Chọn D. Ví dụ 2: Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào dưới đây? Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: limx y +∞ +∞ ⇒ Hệ số a 0 do đó loại đáp án B và D. Mặt khác hàm số có 3 điểm cực trị nên loại đáp án C. Chọn A.
Ví dụ 3: Cho hàm số 4 2 y x bx c có bảng biến thiên như hình vẽ. Tính giá trị của biểu thức T b c. Lời giải Do 4 2 y c y x bx 02 3. Mặt khác f 12 1 2 1 2 bc bc b. Suy ra b c 2 26 4. Chọn A. Ví dụ 4: Cho hàm số 4 2 y ax bx c có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây là đúng? Lời giải Dựa vào đồ thị ta thấy lim 0 x y a ∞ −∞ ⇒ đồ thị hàm số đi qua điểm (0 0 d d) ⇒ Hàm số có ba cực trị suy ra 0 0 0 a ab b x −∞ −1 0 1 +∞ y′ + 0 − 0 + 0 − y −∞ −2 −3 −2 −∞. Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ (0 0 c c) ⇒ Chọn C. Ví dụ 5: Cho hàm số 4 2 y ax bx c =++ có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Lời giải Dựa vào đồ thị ta thấy: lim 0 x y a ∞ ∞ ⇒ đồ thị hàm số đi qua điểm (0 0 d d) ⇒ Hàm số có ba cực trị suy ra 0 0 0 a ab b Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ (0 0 c c) ⇒ Chọn D. Ví dụ 6: Cho hàm số 4 2 y ax bx c có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là đúng? Lời giải Ta có: limx y +∞ +∞ nên a 0 đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0 c 0) ⇒ c. Hàm số có ba cực trị suy ra ab b ⇒ 0 0 Giá trị cực trị của hàm số là 2 2 2 04 2 42 CT b bb y y a c b ac a aa. Chọn B.
Ví dụ 7: Cho hàm số 4 2 y ax bx c cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt A, B, C, D như hình vẽ bên. Biết rằng AB BC CD mệnh đề nào sau đây đúng? Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy 4 2 lim lim 0 x x y ax bx c a – Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm như trong hình khi đó 0 0 0 0 b a b c c a. Gọi 1 2 x x là nghiệm phương trình 4 2 ax bx c 0 suy ra: Ta có 1 2 2 1 212 2 2 39 AB BC CD x x AC B (3). Từ (1), (2), (3) suy ra 1 2 100 9 10 b x x a b x c a c b x x b ac a b a a x x x a. Suy ra 2 a b c b ac 0 0 0 9 100. Chọn C.