Nhận dạng đồ thị hàm số phân thức y = (ax + b)/(cx + d) với c ≠ 0 và ad – bc ≠ 0

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Nhận dạng đồ thị hàm số phân thức y = (ax + b)/(cx + d) với c ≠ 0 và ad – bc ≠ 0, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Nhận dạng đồ thị hàm số phân thức y = (ax + b)/(cx + d) với c ≠ 0 và ad – bc ≠ 0:
III. HÀM SỐ PHÂN THỨC: ax b y cx d với c ad bc 0 0 1. Đạo hàm Tập xác định d D c. Đạo hàm ad bc d y x cx d c suy ra: – Nếu ad bc 0 hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định. – Nếu ad bc − 0 hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định. 2. Giới hạn, tiệm cận – lim lim x x ax b a a y y ∞ ∞ cx d c c là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số – lim lim d d x x c c ax b d y y cx d c là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 3. Bảng biến thiên ad bc − 0 ad bc − 0 4. Đồ thị hàm số ad bc − 0 ad bc − 0 Đồ thị hàm số nhận d a I c c là giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.
5. Phương pháp giải toán Để nhận diện hàm số phân thức bậc nhất: ax b y cx d (c ≠ 0) ta làm như sau: Dựa vào các đường tiệm cận đứng d x c và tiệm cận ngang a y c. Dựa vào giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm 0 b a và giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm 0 b d. Chú ý: Với các bài toán xác định dấu của abcd ta có thể chọn a 0 (vì ax b ax b y cx d cx d) từ đó suy ra dấu của bcd x −∞ d c − +∞ f x f x. Ví dụ 1: Đường cong hình bên là đồ thị của một hàm số nào trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
Lời giải: Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 1 và tiệm cận ngang là y = 1 do vậy ta loại hai đáp án là C và D. Xét đáp án A có 2 1 2 0 1 1 x y y x x nên hàm số nghịch biến. Chọn B. Cách 2: Dựa vào giao điểm của đồ thị hàm số với các trục tọa độ để loại đáp án A. Ví dụ 2: Đường cong hình bên là đồ thị của một hàm số nào trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? Lời giải Đồ thị hàm số nhận các đường thẳng x = −1 và y = 2 là đường tiệm cận nên loại đáp án C. Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định. Mặt khác với 2 3 1 x y x có 2 1 0 1 y x.
Loại đáp án B. Đồ thị hàm số không đi qua gốc tọa độ nên loại A. Chọn D. Ví dụ 3: Cho hàm số ax b y cx d có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Hỏi hàm số đã cho là hàm số nào? Lời giải Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: Đồ thị hàm số nhận các đường thẳng x = 2 và tiệm cận ngang y = 1 (loại đáp án C và D). Hàm số đã cho nghịch biến trên mỗi khoảng xác định. Xét hàm số 2 3 1 2 2 x y y x x. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định nên ta loại đáp án A. Chọn B. Ví dụ 4: Cho hàm số ax b y cx d có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Hỏi hàm số đã cho là hàm số nào?
Lời giải Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: Đồ thị hàm số nhận các đường thẳng x = −3 và tiệm cận ngang y = 1 (loại đáp án A và B). Hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng xác định. Xét hàm số x yy x x x Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định nên ta loại đáp án C. Chọn D. Ví dụ 5: Cho hàm số ax b y cx d có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng? Lời giải Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng: d x c và tiệm cận ngang: a y c ta có: d c cd a ac c. Đồ thị cắt Ox tại 0 b a cắt Oy tại 0 0 0 0 0 b d a ab d b bd d. Chọn B.
Ví dụ 6: Cho hàm số ax b y cx d có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng? Lời giải Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng: d x c và tiệm cận ngang: a y c ta có: 0 0 0 0 d c cd a ac. Đồ thị cắt Ox tại 0 b a cắt Oy tại b a ab d b bd d. Chọn a bcd ⇒ 0 0 (vì ax b ax b y cx d cx d) suy ra ab bc ad 0 0 0. Chọn C. Ví dụ 7: Cho hàm số ax b y cx d có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng? Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy: Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm có hoành độ dương nên 0 b x a.
Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm có tung độ âm nên 0 b y d. Đồ thị hàm số nhận 0 d x c làm tiệm cận đứng và 0 a y c làm tiệm cậm ngang. Chọn a 0 suy ra ad bcd bc. Chọn C. Ví dụ 8: Tìm abc để hàm số 2 y cx b có đồ thị như hình vẽ: Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số đã cho ta thấy: Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là 2 2 2 1 1 b x a b a y a ac c. Đồ thị hàm số cắt các trục tọa độ tại các điểm 2 1. Suy ra ab c. Chọn D