Max – min thể tích

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Max – min thể tích, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Max – min thể tích:
Dạng toán 10. MAX – MIN THỂ TÍCH. Phương pháp giải Ta có thể dùng các phương pháp sau: BĐT Bunyakovsky Dạng Dấu “=” xảy ra khi BĐT AM – GM Khảo sát hàm số trên khoảng xác định Tính đạo hàm rồi lập BBT, từ đó kết luận theo yêu cầu bài toán. Ví dụ 01. Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật với cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy và. Tính thể tích lớn nhất của khối chóp đã cho. Lời giải Chọn A Cách 1. Đặt cạnh Tam giác vuông có Tam giác vuông có Diện tích hình chữ nhật Thể tích khối chóp?
2 2 a b c d ac bd c d S ABCD ABCD AB 4 SA ABCD SC 6 V max 40 3 max 2 AC x 16. Áp dụng BĐT Côsi, ta có. Suy ra Dấu xảy ra. Vậy. Cách 2. Xét hàm số trên Ví dụ 02. Cho hình chóp có đáy là tam giác đều và có. Tính thể tích lớn nhất của khối chóp đã cho. Lời giải Chọn C Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều Vì là hình chóp đều. Đặt Diện tích tam giác đều Gọi là trung điểm Tam giác vuông có Khi đó Xét hàm trên ta được.
Cách 2. Ta có 2 20 VS ABCD max ABC SA SB SC Ví dụ 03. Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật với và mặt bên là tam giác cân tại và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích lớn nhất của khối chóp đã cho. Lời giải Chọn D Gọi là trung điểm của Mà Giả sử. Suy ra Tam giác vuông có Khi đó Ví dụ 04. Người ta cần trang trí một kim tự tháp hình chóp tứ giác đều cạnh bên bằng góc bằng đường gấp khúc dây đèn led vòng quanh kim tự tháp.
Trong đó điểm cố định và (tham khảo hình vẽ). Hỏi khi đó cần dung ít nhất bao nhiêu mét dây đèn led để trang trí? A. mét. B. mét. C. mét. D. mét. Lời giải Chọn C Ta sử dụng phương pháp trải đa diện Cắt hình chóp theo cạnh bên rồi trải ra mặt phẳng hai lần, ta có hình vẽ sau S ABCD ABCD AB SC 4 6 SAD AEFGHIJKLS L LS 40m. Từ đó suy ra chiều dài dây đèn led ngắn nhất là bằng. Từ giả thiết về hình chóp đều ta có. Ta có. Vậy chiều dài dây đèn led cần ít nhất là mét.
Ví dụ 05. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành và có thể tích là. Điểm là trung điểm của. Một mặt phẳng qua cắt hai cạnh và lần lượt tại và. Gọi là thể tích của khối chóp. Tìm giá trị nhỏ nhất của. Lời giải Chọn A Ta có (1) Lại có (2). Từ điều kiện ta có AL LS. Thay vào (2) ta được tỉ số thể tích. Đặt ta có. Ví dụ 06. Cho hình hộp chữ nhật có. Gọi là trung điểm của, mặt phẳng đi qua và cắt các tia tương ứng tại ba điểm phân biệt. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
Lời giải Chọn C Đặt ta có. Do không đồng phẳng nên V x x N. Ví dụ 07. Cho hình chóp. Một mặt phẳng song song mặt đáy cắt các cạnh lần lượt tại. Gọi lần lượt là hình chiếu của lên mặt đáy. Tìm tỉ số để thể tích khối đa điện lớn nhất. Lời giải Chọn B Gọi lần lượt là chiều cao hình chóp và chiều cao khối đa diện. Do nên ta có. Tương tự ta có Ta có (Vì tam giác đồng dạng tam giác) Mặt khác ta có Ta có Do không thay đổi nên đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi đạt lớn nhất. Dấu xảy ra khi và chỉ khi S ABCD SA MNPQ M N P Q.