Lập phương trình đường thẳng d’ qua A cắt d và vuông góc với ∆ (hoặc song song với (P))

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Lập phương trình đường thẳng d’ qua A cắt d và vuông góc với ∆ (hoặc song song với (P)), nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Lập phương trình đường thẳng d’ qua A cắt d và vuông góc với ∆ (hoặc song song với (P)):
Dạng 3: Lập phương trình đường thẳng d’ qua A cắt d và vuông góc với ∆ (hoặc song song với (P)) Phương pháp giải Giả sử d’ cắt d tại điểm B, gọi tọa độ điểm B d theo tham số, ta có AB AB u 0 ⊥ ∆ ⇒ ∆ tọa độ điểm B, phương trình đường thẳng cần tìm là AB. Chú ý: Trong trường hợp d’//(P) ta có AB n AB n 0 ⇒ (P) (P).
Ví dụ 1: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm M(2;1;0) và đường thẳng x1 y1 z 211 ∆. Lập phương trình đường thẳng d đi qua M, cắt và vuông góc với ∆. Lời giải Ta có: u (2;1;-1) ∆. Gọi H(1 2t 1 t t) ∆ là giao điểm của d và ∆. Suy ra MH (2t 1 t 2 t) do MH u MH u 0 ⇒ ∆ ∆ d 2 1 2 (2t 1) (t 2) (t) 0 t u (1;-4;-2) 3 3. Do đó x 2 y1 z d MH 1 42.
Ví dụ 2: Cho điểm A(1;2;-1) và đường thẳng x 2 y1 z3 d 212. Phương trình đường thẳng qua A cắt và vuông góc với d là: A. x1 y2 z1 1 22 B. x y z1 12 2 C. x1 y2 z1 212 D. x y z1 12 2. Lời giải Gọi H(2 2t 1 t 3 2t) d AH (1 2t t 1 4 2t). Ta có: d x y z1 AH u 4t 2 t 1 4t 8 0 t 1 H(0;0;1) AH 12 2. Chọn D.
Ví dụ 3: [Đề thi THPT Quốc gia năm 2018] Trong không gian tọa độ, cho điểm A(1;2;3) và đường thẳng x3 y1 z7 d 21 2. Đường thẳng qua A, vuông góc với d và cắt Ox có phương trình là A. x 1 2t y 2t z 3t B. x1t y 2 2t z 3 2t C. x 1 2t y 2t z t D. x1t y 2 2t z 3 2t. Lời giải Gọi ∆ là đường thẳng cần tìm, ta có B Ox B(x;0;0). Khi đó AB (x 1 2 3) u(2;1;-2) d. Do d ∆ d AB u 2(x 1) 2 6 0 x 1 B(-1;0;0) AB(-2;-2;-3). Vậy x 1 2t y 2t z 3t. Chọn A.
Ví dụ 4: Cho đường thẳng x1 y z1 d 112. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A(1;0;2), vuông góc và cắt d. A. x1 y z2 111 B. x1 y z2 11 1 C. x1 y z2 221 D. x1 y z2 1 31. Lời giải Gọi H(1 t t 1 2t) d là hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d. Ta có: AH (t;-t;2t – 3) suy ra AH u t t 4t 6 0 t 1 H(2;1;1) AH(1;1;-1) d. Suy ra x1 y z2 AH 11 1 ∆. Chọn B.
Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2;1;0) và đường thẳng x1 y1 z 211 ∆. Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M, cắt và vuông góc với ∆ là? Lời giải: Giả sử d cắt và vuông góc với ∆ tại H(1 – 2t;-1 – t;-t) ∆. Khi đó: MH (2t – 1; t – 2; -t) do MH MH u 2(2 t 1) t 2 t 0 ⊥ ∆ ⇒ ∆ MH 2 142 6t 4 t MH (1;-4;-2) 3. Vậy x 2t d y 1 4t z 2t. Chọn A.
Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và mặt phẳng (P) : 2x y 4z 1 0. Đường thẳng (d) qua điểm A, song song với mặt phẳng (P), đồng thời cắt trục Oz. Viết phương trình tham số của đường thẳng (d). Lời giải: Giả sử đường thẳng cắt trục Oz tại B(0;0;a). Ta có AB (-1;-2;a – 3). Mà d song song với (P) ⇒ AB n 0 2 (1) 1 (2) 4 (a 3) 0 a 2 B(0;0;2) P. Khi đó x t AB (-1;-2;-1) AB y 2t z2t. Chọn B.
Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;2;3) và hai đường thẳng 1 2 x 2 y 2 z3 x1 y1 z1 d d 2 11 12 1. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, vuông góc với d1 và cắt d2. Lời giải: Gọi (P) là mặt phẳng qua A(1;2;3) và vuông góc với 1 P d n (2;-1;1) (P) 2x y z 3 0. Khi đó gọi B (P) d ∩ 2. Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ PT sau: 2x y z 3 0 x 2 x1 y1 z1 y 1 B(2;1;2) 12 1 z 2. Đường thẳng cần lập chính là đường thẳng AB: qua A(1;2;3) và có vectơ chỉ phương AB u (1;-3;-5) x1 y2 z3 AB 1 35 ∆ là đường thẳng cần tìm. Chọn D.
Chú ý: Đối với bài toán viết phương trình đường thằng ∆ nằm trong mặt phẳng (P), đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng d ta làm như sau : Bước 1: Tìm giao điểm A của d và mặt phẳng (P) Bước 2: Do (P) (P) d d u n đường thẳng cần tìm đi qua A và có vectơ chỉ phương là u∆. Ví dụ 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x 2y z 4 0 và đường thẳng có phương trình x1 y z2 d 213. Phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P), đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng d là?