Lập phương trình đường thẳng ∆ cắt d1 và d2 đồng thời song song với d (hoặc vuông góc với (P), hoặc đi qua điểm M)

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Lập phương trình đường thẳng ∆ cắt d1 và d2 đồng thời song song với d (hoặc vuông góc với (P), hoặc đi qua điểm M), nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Lập phương trình đường thẳng ∆ cắt d1 và d2 đồng thời song song với d (hoặc vuông góc với (P), hoặc đi qua điểm M):
Dạng 4: Lập phương trình đường thẳng ∆ cắt d1 và d2 đồng thời song song với d (hoặc vuông góc với (P), hoặc đi qua điểm M). Phương pháp giải Giả sử ∆ cắt d1 và d2 lần lượt tại A và B, ta tham số hóa 2 điểm A d B d 1 2 theo ẩn t và u. Do d d d u k u AB k u t u ∆ ∆ tọa độ các điểm A, B. Phương trình đường thẳng cần tìm là AB. Chú ý: Trường hợp: (P) ∆ ⇒ (P) AB k n t và u. Trường hợp: ∆ đi qua điểm M ⇒ M, A, B thẳng hàng ta giải MA k MB t u và k.
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) (P) x y z 1 0 đồng thời cắt cả hai đường thẳng 1 x1 y1 z d 2 11 và 2 x 1t d y 1 z t. Lời giải: Lấy 1 2 M d M t tt N d N u u. Suy ra MN u t u t. Do (P) 4 u u 2t 2 t u t 5 1 3 2 d (P) MN k n M. Phương trình đường thẳng d là: 1 132 xyz 555 d 111.
Ví dụ 2: phương trình đường thẳng d đi qua A(1;-1;1) biết d cắt cả hai đường 1 x1 y3 z1 d 21 2 và 2 x 2t y t z 3t. Lời giải: Gọi 1 B u u ud (1 2 3 1 2) và 2 C tt d (2 t 3). Ta có: AB u u u AC (2 2 1 t t 1 3t 1). Do A, B, C thẳng hàng nên u k t u k kt u. Suy ra d x 1 u 0 t 1 u (0;1;1) d y 1 t. Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng 1 x3 y3 z2 d 1 21 và 2 x5 y1 z2 d 32 1 và mặt phẳng (P) : x 2y 3z 5 0. Đường thẳng vuông góc với (P) cắt d1 và d2 có phương trình là?
Lời giải: Giả sử đường thẳng d cắt d1, d2 lần lượt tại 1 1 1 2 22 MN M t t. Ta có MN t 2 2 2 4 4 và nP = (1;2;3). Mà d vuông góc với (P) nên 1 2 1 M MN k n t t k t N tt k k x1 y1 z MN (1;2;3) d 1 23. Chọn A. Ví dụ 4: Phương trình đường thằng song song với đường thẳng x1 y2 z d 111 và cắt hai đường thẳng 1 x1 y1 z2 d. Lời giải: Gọi A t t dB u u u d. Khi đó: AB u t u t u t. Do 2 u 2t 3 u t 1 3u t t 1 x 1 y z 1 AB. Chọn B.
Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d1, d2 có phương trình lần lượt là x y1 z 2 211 và x 1 2t y 1 t (t) z 3. Phương trình đường thẳng vuông góc với (P) : 7x y 4z 0 và cắt cả hai đường thẳng d1, d2 là? Lời giải: Giả sử d d 1 1 A Ad nên Au u (2;1;u – 2) 2 2 dd B B ∩ d nên B(21;-t – 1;3). Vì thế AB t u t u u là vectơ chỉ phương của d. Do d (P) nên AB // n (7;1;-4) ở đây n là vectơ pháp tuyến của mp (P).
Từ đó có hệ phương trình 2t 2u 1 t u 5 u 2t 2u 1 7t 7u và đường thẳng d đi qua điểm A(2;0;-1) nên x2 y z1 (d) 71 4. Chọn B. Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn đường thẳng 1 x1 y2 z d. Gọi ∆ là đường thẳng cắt cả bốn đường thẳng. Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của ∆? Lời giải: Ta có 4 d u suy ra 2 1 u dd ⇒ Phương trình mặt phẳng (P) chứa (d1), d(2) là yz20.
Khi đó AB và 1 d u không cùng phương ⇒ AB cắt đường thẳng (d1), (d2). Vậy 1 3 u AB ∆ là vectơ chỉ phương của đường thẳng cắt (d1), (d2), (d3), (d4). Chọn B. Ví dụ 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxỵz, cho điểm M(3;3;-2) và hai đường thẳng 1 x1 y2 z d. Đường thẳng d qua M và cắt d1, d2 lần lượt tại A và B. Độ dài đoạn thẳng AB bằng?