Khai triển nhị thức Niu-tơn có điều kiện về tổng dãy số

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Khai triển nhị thức Niu-tơn có điều kiện về tổng dãy số, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.

Nội dung bài viết Khai triển nhị thức Niu-tơn có điều kiện về tổng dãy số:
Dạng 4. Khai triển có điều kiện về tổng dãy số Phương pháp: Các tổng đặc biệt cần lưu ý: x C C x C x C x x C C x C x C x C C C C C C. Suy ra 2 0 2 2 1 3 2 1 2 1 n n n n C C C C C C n n n n n n. Ví dụ 1. Tìm hệ số của số hạng chứa x 21 trong khai triển nhị thức Niu-tơn 3 2 2 0 n x x x biết 0 1 2 3 1024 n C C n n. Lời giải: +) Ta có khai triển: 2 1 0 1 2 1 2 1 n n n x C C x C x. Cho x 1 được: 0 1 2 2 1 0 1 2. Vì 2 1 2 1 2 1 k n k C C n n. Do đó: 2 1024 2 5 n n.
Khi đó: 15 15 15 0 15 2 2 3 15 k k k k k A x C x C x. Cho 3 15 21 12 k k. Hệ số của số hạng chứa x 21 trong khai triển là: -3640. Ví dụ 2. Tìm hệ số của x 20 trong khai triển nhị thức Newton biểu thức 2 3 1 n P x x x với n nguyên dương thỏa mãn: 1 2 2 100 C C n n n. Lời giải :Ta có 2 1 2 1 1 n C n và 0 n k n k k n. Lại có 1 2 2 100 2 1 2 1 2 1…. 2 1. n n n C C C n n n. Với 50 50 2 5 150 k n P x x C x x. Số hạng này chứa 20 x k k 5 150 20 34. Vậy hệ số của số hạng chứa x 20 là 34 C50.
Ví dụ 3. Cho khai triển 2 3 2 n x x tìm hệ số chứa x 2 trong khai triển đó. Biết 2 4 2 19 2 2 2… 2 1 n C C C n n n. Lời giải: Xét: 2 2 0 1 1 n n C C n n k k n. Cộng hai vế của chúng lại ta có: 2 0 19 C P n n. Ta có: 3 2 1 2 1 2 k i k k i i. Khi đó hệ số chứa x 2 trong khai triển là 10 10 2 k i k i i k C C thỏa mãn: 1 2 0 2 2 0 k ii k i. Khi k i 1 hệ số sẽ là: 9 9 1 1 10 1. Khi i k 0 2 hệ số là: 8 10 2 0 10 2. Khi i k 2 0 hệ số là: 10 8 0 2 8 2 10 10 10 1 2 2 C C C.
Vậy hệ số chứa x 2 trong khai triển trên là 10 1 10 2 8 2. Ví dụ 4. Tìm hệ số của số hạng chứa x 26 trong khai triển nhị thức Niuton của 7 4 1 n x x biết rằng 1 2 20 2 1 2 1 2 1… 2 1 n C C C n n n. Lời giải: Sử dụng khai triển sau: n n n n x C C x C x C x. Cho x 1 ta có: 2 1 0 1 2 2 1. Mặt khác ta có công thức: k n k C C n n. Do vậy: 2 1 2 1 10 n n C C C C n n n n n. Xét khai triển k k x C x C x.
Ứng với hệ số của số hạng chứa x 26 ta có: 70 11 26 4 k k. Vậy hệ số của số hạng chứa x 26 là 4 C10. Ví dụ 5. Cho x 0 và 1 2 3 2 1 2 2 1 36 2 1 2 1 2 1 n n. Tìm số hạng không phụ thuộc x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của 5 1 n x x. Lời giải: Ta có 2 1 2 1 k n nên 2 1 2 1. Số hạng không phụ thuộc x ứng với 6 18 0 3 5 k k. Suy ra số hạng cần tìm là 3 3 18 C 1 816.
Ví dụ 6. Cho đẳng thức 1 2. Tìm hệ số của số hạng chứa x 10 trong khai triển 3 4 1. Lời giải: Đặt 1 2 3 2 1 2 n n n S C C. Ta có: 1 3 2 6 3 9 4 12 4 4 4 4 C x C x C x C x. Ta có hệ số của x 10 là: 1 3 4 2 4 C. Ví dụ 7. Tìm hệ số của x 4 trong khai triển biểu thức 2 1 2 n x x biết n là số nguyên dương thỏa mãn 0 2 4 2. Lời giải: Xét các khai triển sau: 2 0 1 2 2. Cộng vế với vế (1) và (2) ta được 512 2 1024 5 n n. Các số hạng chứa x 4 trong các số hạng trên là: C x x C C x x