VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 8 bài viết Hình vuông, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 8.
Nội dung bài viết Hình vuông:
A TÓM TẮT LÍ THUYẾT Định nghĩa 1. Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và có bốn cạnh bằng nhau. Nhận xét. Từ định nghĩa hình vuông, ta suy ra Hình vuông là hình chữ nhật có bốn cạnh bằng nhau. Hình vuông là hình thoi có bốn góc vuông. 4! Hình vuông vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi. Tính chất 1. Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi. Hệ quả 1. Dấu hiệu nhận biết 1 Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông. 2 Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông. 3 Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc vuông là hình vuông. 4 Hình thoi có một góc vuông là hình vuông. 5 Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông. B CÁC DẠNG TOÁN VÍ DỤ 1. VD16-tr96 Gọi M là điểm bất kì trên đoạn thẳng AB. Vẽ về một phía của AB các hình vuông AMCD, BMEF. 1 Chứng minh rằng AE ⊥ BC. 2 Gọi H là giao điểm của AE và BC. Chứng minh rằng ba điểm D, H, F thẳng hàng. 3 Chứng minh rằng đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M chuyển động trên đoạn thẳng AB cố định. LỜI GIẢI. 1 Xét 4CAB, ta có CM ⊥ AB, BE ⊥ AC (vì BE ⊥ MF, MF k AC).
Suy ra AE ⊥ BC. 2 Gọi O là giao điểm của AC và DM. Do AHC = 90◦ nên OH = AC 2, do đó OH = DM 2. Tam giác MHD có đường trung tuyến HO bằng nửa DM nên MHD = 90◦. (1) Chứng minh tương tự MHF = 90◦. (2) Từ (1) và (2) suy ra D, H, F thẳng hàng. O D C I H F A I 0 M B E c) Gọi I là giao điểm của DF và AC; 4DMF có DO = OM, OI k MF nên I là trung điểm của DF. Lẻ II0 ⊥ AB thì I 0 là trung điểm của AB và II0 = AD + BF 2 = AM + MB 2 = AB 2. Do đó I là điểm cố định: I nằm trên đường trung trực của AB và cách AB một khoảng bằng AB 2. 1. Bài tập tự luyện BÀI 1. Tứ giác ABCD có E, F, G, F theo thứ tự là trung điểm của AB, BD, DC, CA. Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để EF GH là hình vuông. LỜI GIẢI. + EF là đường trung bình của 4BAD ⇒ EF = 1 2 AD và EF k AD. + GH là đường trung bình của 4CAD ⇒ GH = 1 2 AD và GH k AD. Suy ra EF GH là hình bình hành. Tứ giác EF GH có EF k GH. A B H E F D G C + Ta cũng có EH k F G k BC EH = F G = BC 2. Điều kiện để hình bình hành EF GH trở thành hình vuông là EF k EH và EF = EH ⇔ AD ⊥ BC và AD = BC (hình vẽ bên). F A B E H D G C BÀI 2. Cho hình vuông ABCD, điểm M nằm trên đường chéo AC. Gọi E, F theo thứ tự là các hình chiếu của M trên AD, CD. Chứng minh rằng 1 BM vuông góc với EF. 2 Các đường thẳng BM, AF, CE đồng quy.
LỜI GIẢI. 1 Gọi K là giao điểm của EM và BC. Vì M nằm trên đường chéo AC của hình vuông nên + 4EAM vuông cân tại E, suy ra EM = EA = BK. + MF CK là hình vuông, suy ra MF = MK. Vậy 4EMF = 4BKM (c.g.c) nên MF E = KMB. Gọi H là giao điểm của BM và EF, ta có EMH = BMK, suy ra EMH = MF H. Mà EMH +HMF = 90◦ nên MF H + HMF = 90◦ ⇒ MHF = 90◦ hay BH ⊥ EF. Vậy MB ⊥ EF. E K A B M D F C H b) 4ADF = 4BAE (c.g.c), suy ra DAF = ABE, mà EAF + F AB = 90◦ ⇒ F AB + ABE = 90◦ suy ra AF ⊥ EB. Tương tự, CE ⊥ BF. Vậy BM, AF, CE là các đường cao của 4BEF nên chúng đồng quy. BÀI 3. Cho hình vuông ABCD. Điểm E nằm trong hình vuông sao cho tam giác ECD cân có góc đáy bằng 15◦. Chứng minh rằng 4ABE là tam giác đều. LỜI GIẢI. Vẽ điểm I trong hình vuông sao cho 4IAD cân tại I có góc ở đáy bằng 15◦. 4IAD = 4EDC (g.c.g) ⇒ ID = ED. IDE = ADC − Ä ADI + EDC ä = 90◦ − 30◦ = 60◦. Vây 4DIE đều. AIE = 360◦ − (AID + DIE) = 360◦ − (150◦ + 60◦) = 150◦ = AID. Suy ra 4IAE = 4IAD (c.g.c) nên EA = AD. Chứng minh tương tự 4ECB = 4EDA ⇒ BE = BC. Vậy BE = AE = BC. I A B D C E BÀI 4. Cho 4ABC cân tại A, góc đáy 75◦ và hình vuông BDEC (các điểm A, D, E nằm cuàng phía đối với BC). Hãy xác định dạng của 4ADE. LỜI GIẢI. Vẽ tam giác đều BIC vào trong hình vuông. ABI = ABC − IBC = 75◦ − 60◦ = 15◦. ABD = 90◦−ABC = 15◦. Suy ra 4BDA = 4BIA (c.g.c), suy ra DA = AI và DAB = IAB. Chứng minh tương tự 4CAI = 4CAE ⇒ AE = AI và IAC = CAE.
Suy ra AD = AE = AI và DAE = 2BAI + 2CAI = 2BAC = 60◦. Vậy 4ADE đều. D E A I B C BÀI 5. Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh CD, điểm F thuộc cạnh BC. Chứng minh rằng chu vi 4CEF bằng nửa chu vi hình vuông khi và chỉ khi EAF = 45◦ LỜI GIẢI. Trên tia đối của tia DC lấy DK = BF, 4ADK = 4ABF (c.g.c) nên AK = AF, KAF = 90◦. Ta chứng minh mênh đề EAF = 45◦ thì chu vi CEF bằng nửa chu vi hình vuông. EAF = 45◦ ⇒ EAK = 45◦ ⇒ 4EAK = 4EAF (c.g.c) ⇒ EK = EF. Do đó chu vi CEF bằng CE +CF +EF = CE +CF +EK = CE + CF + ED + DK = CE + CF + ED + F B (bằng nửa chu vi hình vuông). F A B K D E C Ta chứng minh mệnh đề Chu vi CEF bằng nửa chu vi hình vuông thì EAF = 45◦ CE + CF + EF = CB + CD ⇒ EF = ED + BF ⇒ EF = ED + DK = EK. 4EAK = 4EAF (c.c.c) ⇒ EAK = EAF ⇒ EAF = 45◦. BÀI 6. Cho hình vuông ABCD, điểm M thuộc cạnh AB. Tia phân giác của góc MCD cắt cạnh AD ở N. Cho biết BM = m, DN = n. Tính độ dài CM theo m và n. LỜI GIẢI. Trên tia đối của tia BA lấy điểm K sao cho BK = DN = n. 4DCN = 4BCK ⇒ Cb1 = Cb4 và DNC = BKC (1). Mà DNC = NCB (so le trong) ⇒ NDC = Cb2 + Cb3 = Cb4 + Cb3 = MCK (2). Từ (1) và (2) suy ra 4MCK cân tại M, vậy CM = MK = m + n. N A M B K D C 1 2 3 4 BÀI 7. Cho hình vuông A0B0C 0D0 nằm trong hình vuông ABCD sao cho thứ tự các đỉnh theo cùng một chiều như nhau (tức là nếu vẽ hai đường tròn, mỗi đường tròn đi qua các đỉnh của một hình vuông, thì chiều đi trên đường tròn từ A lần lượt B, C, D và từ A0 lần lượt qua B0, C 0, D0 là như nhau).
Chứng minh rằng trung điểm các đoạn thẳng AA0, BB0, CC0, DD0 là đỉnh của một hình vuông. LỜI GIẢI. Gọi E, F, G, H thứ tự là trung điểm của AA0, BB0, CC0 DD0. Gọi I, K là trung điểm BC0, CD0. F I là đường trung bình của 4BB0C 0 nên F I k B0C 0 và F I = 1 2 B0C 0. (1) GK là đường trung bình của 4CC0D0 nên GK k C 0D0 và GK = 1 2 C 0D0. (2) Lại có B0C 0 = C 0D0 và B0C 0 ⊥ C 0D0. (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra (F I = GK F I ⊥ KG. (4) C 0 A0 I G A B F H K D C E B0 D0 Chứng minh tương tự ta có (GI = HK GI ⊥ HK. (5) Từ (4) và (5) ta có F I = GK F IG = GKH IG = KH ⇒ 4F IG = 4GKH ⇒ F G = GK và GF ⊥ GH (tính chất hai góc bằng nhau có cặp cạnh tương ứng vuông góc). Chứng minh tương tự ta được GH = HE = EF = F G, từ đó suy ra EF GH là hình vuông.