Hình trụ, diện tích xung quanh và thể tích hình trụ

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 9 bài viết Hình trụ, diện tích xung quanh và thể tích hình trụ, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 9.

Nội dung bài viết Hình trụ, diện tích xung quanh và thể tích hình trụ:
A TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1 Hình trụ Khi quay hình chữ nhật ABCD một vòng quay cạnh CD cố định, ta được một hình trụ (h.73). Khi đó: – Hai đáy là hai hình tròn (C) và (D) bằng nhau và nằm trên hai mặt phẳng song song. – Đường thẳng CD là trục của hình trụ. – AB là một đường sinh. Đường sinh vuông góc với hai mặt phẳng đáy. Độ dài đường sinh là chiều cao hình trụ. D C A E F B Hình 73 2 Diện tích xung quanh của hình trụ Sxq = 2πRh. Stp = 2πRh + 2πR2. 3 Thể tích hình trụ V = Sh = πR2h (R là bán kính đáy, h là chiều cao, S là diện tích đáy). B CÁC VÍ DỤ VÍ DỤ 1. Một hình trụ có bán kính đường tròn đáy là 2 cm, chiều cao là 6 cm. Hãy tính: 1 Diện tích xung quanh của hình trụ. 2 Diện tích toàn phần của hình trụ. 3 Thể tích hình trụ. LỜI GIẢI. 1 Diện tích xung quanh của hình trụ là Sxq = 2πRh = 2 · π · 2 · 6 = 24π ≈ 24 · 3, 14 = 75, 36 (cm2) 2 Diện tích toán phần của hình trụ là Stp = 2πRh + 2πR2 = 2 · π · 2 · 6 + 2 · π · 2 2 = 24π + 8π = 32π ≈ 32 · 3, 14 = 100, 48 (cm2). 3 Thể tích hình trụ là: V = πR2h = π · 2 2 · 6 = 24π ≈ 24 · 3.14 = 75, 36 (cm3) O A 2 O0 A0 6 VÍ DỤ 2. Một hình trụ có diện tích xung quanh là 20π cm2 và diện tích toàn phần là 28π cm2. Tính thể tích của hình trụ đó. LỜI GIẢI. Ta có Sđ = Stp − Sxq 2 = 28π − 20π 2 = 4π (cm2).
Mà Sđ = πR2 ⇔ πR2 = 4π ⇔ R = 2 (cm). Ta có Sxq = 2πRh ⇒ h = 20π 2πR = 10 2 = 5 (cm). Thể tích của hình trụ đó là V = πR2h = π · 2 2 · 5 = 20π ≈ 62, 8 (cm3). O A O0 A0 VÍ DỤ 3. Một hình trụ có chiều cao bằng 5 cm. Biết diện tích toàn phần gấp đôi diện tích xung quanh. Tính thể tích hình trụ. LỜI GIẢI. Vì diện tích toàn phần bằng hai lần diện tích xung quanh nên 2πRh + 2πR2 = 4πRh ⇔ 2πR2 = 2πRh ⇔ R = h. Vậy bán kính đáy là 5 cm. Thể tích của hình trụ là V = πR2h = π · 5 2 · 5 = 125π (cm3). O A O0 A0 VÍ DỤ 4. Một thùng phuy hình trụ có số đo diện tích xung quanh (tính bằng mét vuông) đúng bằng số đo thể tích (tính bằng mét khối). Tính bán kính đáy của hình trụ. LỜI GIẢI. Gọi bán kính đáy và chiều cao hình trụ lần lượt là R và h. Ta có Sxq = 2πRh (m2); V = πR2h (m3). Theo đề bài hai số đo trên bằng nhau nên ta có 2πRh = πR2h suy ra R = 2 (m). O A O0 A0 VÍ DỤ 5. Một lọ hình trụ được “đặt khít” trong một hộp giấy hình hộp chữ nhật. Biết thể tích của lọ hình trụ là 270 cm3, tính thể tích của hộp giấy. LỜI GIẢI. Gọi bán kính và chiều cao của hình trụ lần lượt là R và h. Khi đó hình hộp chữ nhật có cạnh đáy là 2R và chiều cao là h. Gọi V1 và V2 lần lượt là thể tích của hình trụ và hình hộp. Ta có V1 V2 = πR2h 4R2h. Do đó 270 V2 = π 4.
Suy ra V2 = 270 · 4 π ≈ 344 (cm3). Vậy thể tích hình hộp là 344 (cm3). VÍ DỤ 6. Cho hình chữ nhật ABCD với AB = 2a, BC = a. Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB một vòng thì được hình trụ có thể tích V1 và khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh BC một vòng thì được hình trụ có thể tích V2. Tính tỉ số V1 V2. LỜI GIẢI. Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB một vòng thì được hình trụ có chiều cao h = AB = 2a, bán kính đáy R = BC = a nên có thể tích V1 = πR2h = πa2 · 2a = 2πa3 (đvtt) Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh BC một vòng thì được hình trụ có chiều cao h 0 = BC = a, bán kính đáy R0 = CD = 2a nên có thể tích V2 = πR02h 0 = π(2a) 2 · a = 4πa3 (đvtt). Vậy V1 V2 = 2πa3 4πa3 = 1 2. 2a a A B D C VÍ DỤ 7. Một hộp sữa hình trụ có chiều cao hơn đường kính là 3 cm. Biết diện tích vỏ hộp (kể cả nắp) là 292, 5πcm2. Tính thể tích của hộp sữa đó. LỜI GIẢI. Gọi R là bán kính đáy của hộp sữa, h là chiều cao của nó. Ta có h = 2R + 3. Vì diện tích toàn phần của hộp sữa là 292, 5πcm2 nên 2πR(h + R) = 292, 5π ⇔ 2πR(h + R) = 292, 5π ⇔ 2πR(2R + 3 + R) = 292, 5π ⇔ R(R + 1) = 48, 75 ⇔ R 2 + R − 48, 75 = 0 Giải ra được R1 = 6, 5 (chọn); R2 = −7, 5 (loại). Vậy bán kính đáy hộp sữa là 6, 5 cm. Chiều cao hộp sữa là 16 cm. Thể tích hộp sữa là V = πR2h = π · (6, 5)2 · 16 = 676π (cm3) O A O0 A0 C LUYỆN TẬP BÀI 1. Một hình trụ có bán kính đường tròn đáy là 6 cm, chiều cao là 9 cm.
Hãy tính 1 Diện tích xung quanh của hình trụ. 2 Thể tích của hình trụ. LỜI GIẢI. 1 Diện tích xung quanh của hình trụ là 2 · π · 6 · 9 = 108π (cm2). 2 Thể tích của hình trụ là π · 6 2 · 9 = 324π (cm3). O A O0 A0 6 9 BÀI 2. Một hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng lần lượt là 8 cm, 5 cm. Quay hình chữ nhật đó một vòng quanh chiều dài hay chiều rộng thì thể tích lớn hơn. LỜI GIẢI. Khi quay quanh chiều dài thì R = 5, h = 8 (cm). V1 = π · 5 2 · 8 = 200π (cm3). Khi quay quanh chiều rộng thì R = 8, h = 5 (cm). V2 = π · 8 2 · 5 = 320π (cm3). Vì V2 > V1 nên khi quay quanh chiều rộng thì thể tích sẽ lớn hơn khi quay quanh chiều dài. A B D C 8 5 BÀI 3. Người ta cắt hình trụ bằng một mặt phẳng chứa trục. Biết thiết diện là một hình vuông có diện tích bằng 36 cm2. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ. LỜI GIẢI. Độ dài mỗi cạnh của thiết diện là a = √ 35 = 6 (cm). Vậy chiều cao của hình trụ là h = 6 (cm), bằng đường kính của đáy hình trụ. Ta có 2R = 6 do đó R = 3 (cm). Diện tích xung quanh của hình trụ là Sxq = 2πRh = 2 · π · 3 · 6 ≈ 113, 4 (cm2). Thể tích của hình trụ là V = πR2h = π · 3 2 · 6 ≈ 169, 56 (cm3).