Hình thoi

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 8 bài viết Hình thoi, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 8.

Nội dung bài viết Hình thoi:
A TÓM TẮT LÍ THUYẾT Định nghĩa 1. Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau. Định lí 1. Trong hình thoi 1 Hai đường chéo vuông góc với nhau. 2 Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi. Hệ quả 1. Dấu hiệu nhận biết 1 Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hinh thoi. 2 Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi. 3 Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi. 4 Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi. B CÁC DẠNG TOÁN VÍ DỤ 1. Cho tứ giác ABCD có A = 40◦, D = 80◦, AD = BC. Gọi E và F là trung điểm của AB và CD. Tính EF D, EF C. LỜI GIẢI. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BD, AC. Ta có NF là đường trung bình của 4ADC nên NF C = ADC = 80◦, MF là đường trung bình của 4BDC nên MF D = BCD = 40◦. Suy ra MF N = 180◦ − (80◦ + 40◦) = 60◦. Tứ giác EMF N có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi.
Do đó F1 = F2 = 60◦ : 2 = 30◦. Vậy EF D = 30◦ + 40◦ = 70◦, EF C = 30◦ + 80◦ = 110◦. M A E B D F C N 1. Bài tập tự luyện BÀI 1. Xác định dạng của một tứ giác, biết rằng 1 Tứ giác đó có hai trục đối xứng vuông góc với nhau và không đi qua đỉnh của tứ giác. 2 Tứ giác có hai trục đối xứng là hai đường chéo của nó. LỜI GIẢI. 1 Giả sử tứ giác ABCD có hai trục đối xứng vuông góc d1 và d2 như hình vẽ. Khi đó − d1 là đường trung trực của AB và CD, nên AB k CD. − d2 là đường trung trực của AD và BC, nên AD k BC. − Lại có d1 ⊥ d2 ⇒ AB ⊥ BC. Vậy ABCD là hình chữ nhật. A D B C d1 d2 2 − Do BD là trục đối xứng nên BD là đường trung trực của AC nên DA = DC, BA = BC và AC ⊥ BD. − Do AC là trục đối xứng nên AC là đường trung trực của BD nên AD = AB.
Vậy ABCD là hình thoi. D B A C d1 d2 BÀI 2. Cho 4ABC. Điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC sao cho BD = CE. Gọi I, K, M, N theo thứ tự là trung điểm của BE, CD, BC, DE. 1 Tứ giác MINK là hình gì? Vì sao? 2 Chứng minh rằng IK vuông góc với tia phân giác At của góc A. LỜI GIẢI. D A I G E N H B M C K t 1 2 1 1 Có + MK là đường trung bình của 4CBD. (1) + NI là đường trung bình của 4EBD. (2) Từ (1) và (2) suy ra MK = IN = 1 2 BD và MK k NI k BD, nên MINK là hình bình hành. (3) Lại có NK là đường trung bình của 4DEC và EC = BD, suy ra NK = IN. (4) Từ (3) và (4), suy ra MINK là hình thoi. 2 Gọi G, H theo thứ tự là giao điểm của MN với AC, BD. + MI k CE ⇒ M 1 = Gc1 (hai góc so le trong). (1) + MK k BD ⇒ M 2 = H (hai góc so le trong). (2) + Mà M 1 = M 2 (tính chất hình thoi). (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra 4AHG cân tại A. Mà At là phân giác trong BAC ⇒ BAt = AHG ⇒ At k HG (do hai góc bằng nhau ở vị trí đồng vị). Lại có HG ⊥ IK ⇒ IK ⊥ At. BÀI 3. Cho hình bình hành ABCD, AB = 2AD, D = 70◦.
Gọi H là hình chiếu của B trên AD, M là trung điểm của CD. Tính số đo góc HMC. LỜI GIẢI. N A B H D M C 1 2 3 70◦ Gọi N là trung điểm AB, có (MN k DA DA ⊥ BH ⇒ MN ⊥ BH và MN đi qua trung điểm của BH ⇒ MN là đường trung trực của BH ⇒ M 1 = M 2. Lại có M 2 = M 3 và NMC = ADM = 70◦. Vậy HMC = 3 · 35◦ = 150◦. BÀI 4. Gọi O là giao điểm của các đường chéo hình thoi ABCD, E và F theo thứ tự là hình chiếu của O trên BC và CD. Tính các góc của hình thoi biết rằng EF bằng một phần tư đường chéo của hình thoi. LỜI GIẢI. • Xét trường hợp EF = 1 4 BD. Gọi I là trung điểm OB. 4EOB vuông tại E nên EI = 1 2 BO = EF ⇒ EF OI là hình thoi, suy ra 4OEF cân tại F, lại có OE = OF nên 4OEF đều ⇒ EOF = 60◦ ⇒ ECF = 120◦ ⇒ ABC = 60◦. Vậy khi EF = 1 4 BD thì Cb = Ab = 120◦, B = D = 60◦. A I B D E C F O • Xét trường hợp EF = 1 4 AC. I E C F O A B D E C F O Gọi I là trung điểm OC ⇒ EF = EI = IF ⇒ IEF đều 4CIF = 30◦ ⇒ CIF = 30◦ ⇒ IOF = 15◦ ⇒ ODF = 15◦ ⇒ D = 30◦ = B và Ab = Cb = 150◦. BÀI 5. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình bình hành ABCD, lấy theo thứ tự các điểm E, M, N, F sao cho BM = DN, BE = DF. Gọi I, O, K theo thứ tự là trung điểm của EF, BD, MN.
1 Chứng minh rằng ba điểm I, O, K thẳng hàng. 2 Trong trường hợp nào thì cả năm điểm A, I, O, K, C thẳng hàng? LỜI GIẢI. B M O x K y I G H F D A E Q C N 1 Trước hết, ta chứng minh rằng đường thẳng OI tạo với AB và AD các góc bằng nhau. Thậy vậy, gọi Q là trung điểm của BF ta có + IQ là đường trung bình của 4F BE ⇒ IQ = 1 2 BE. + OQ là đường trung bình của 4BF D ⇒ OQ = 1 2 F D. Mà BE = F D ⇒ QI = QO. • Nếu ABCD là hình thoi thì I, O, A thẳng hàng. Tương tự K, O, C thẳng hàng. Do đó năm điểm A, I, O, K, C thẳng hàng. • Nếu ABCD không là hình thoi, ta có 4QIO cân. Gọi G, H là giao điểm của OI với AD, AB. Ta có Ob = Ib, QIO = H (góc đồng vị) và QOI = OGF (góc so le trong) nên Gb = H do đó HG song song với tia phân giác Ax của góc A. Tương tự, OK song song với phân giác Cy của góc C. Nhưng Ax k Cy, do đó I, O, K thẳng hàng.