Hình lăng trụ và hình hộp

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Hình lăng trụ và hình hộp, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.

Nội dung bài viết Hình lăng trụ và hình hộp:
Dạng 03. HÌNH LĂNG TRỤ và HÌNH HỘP. Phương pháp giải Chú ý vào các đường thẳng và mặt phẳng song song của hình lăng trụ để áp dụng các định lí song song đã học. Bài 01. Cho lăng trụ tam giác ABC A B C. Gọi M, M’ lần lượt là trung điểm của cạnh BC và BC’. Chứng minh AM A M. Tìm giao điểm AB C và đường thẳng AM’. Tìm giao tuyến d của ABC và BA C. Tìm giao điểm G của d với AMA’. Chứng minh rằng G là trọng tâm AB C Lời giải Chứng minh AM A M.
Xét tứ giác BCC B có M, M’ là trung điểm của BC và BC. MM’ là đường trung bình của hình bình hành BCC B MM BB CC MM BB CC. Nên tứ giác AMA M là hình bình hành AM A M. Tìm giao điểm AB C và đường thẳng AM’. Gọi I là trung điểm của AMI cũng là trung điểm của AM’. Mà AM thuộc AB C. Do vậy I là giao điểm của AM’ và AB C. Tìm giao tuyến d của AB C và BA C. Trong ABB A có AB BA J.
J C AB C BA C JC AB C BA C. Tìm giao điểm G của d với AMA’. Chứng minh rằng G là trọng tâm AB C Trong AB C có JC IM G G JC AMM A. Xét AC B có AM C J lần lượt là trung tuyến. Do vậy giao điểm G của chúng chính là trọng tâm AC B. Bài 02. Cho hình hộp 1 1 1 1 ABCD A BC. Gọi O1 là tâm hình bình hành A B C D 1 1 1 1; K là trung điểm CD E là trung điểm của BO1. Chứng minh E ACB. Xác định thiết diện của hình hộp với P đi qua K và song song với EAC.
Lời giải: Chứng minh E ACB 1. Gọi giao điểm của hai hình bình hành 1 1 1 1 A B BA BC BC là PQ. Ta có PE QE lần lượt đường trung bình của BO A BO C 1 1 1 1. Nên ta có 1 1 1 1 PE QE C A C. Do vậy E PQ E AB C. Trong ABCD kẻ KI AC I AD. Trong A ADD 1 1 kẻ IG A D G AA A D B C IG B C IG B AC. Trong ABA B1 1 kẻ GM AB M A B. Trong A B C D 1 1 1 1 kẻ HM A C H B C. Trong BB C C 1 1 kẻ HN A C N CC. Do vậy giao tuyến cần tìm là ngũ giác KIGMHN.
Bài 03. Cho lăng trụ tam giác ABC A B C. Trên đường thẳng BA lấy điểm M sao cho A nằm giữa đoạn thẳng MB và 1 2 MA AB. Xác định thiết diện của hình lăng trụ cắt bởi mặt P đi qua M, B’ và trung điểm E của AC. Tính tỉ số BD CD với D BC MB E. Lời giải: Do D BC MB E BC ME ABC. Xác định thiết diện của hình lăng trụ cắt bởi mặt P đi qua M, B’ và trung điểm E của AC. Trong ABB gọi F MB AA. Như vậy, ta có: P ABB FB P BCC B B D P ABC DE. Vậy thiết diện của hình lăng trụ cắt bởi mặt phẳng P là tứ giác B DEF.
Tính tỉ số BD CD với D BC MB E. Kẻ AI DE với I BC. Mà E là trung điểm của AC DE là đường trung bình của ACI. D là trung điểm của CI hay CD DI. Do AI DM nên 2 3 BD BM BA AM AM AM. Vậy 3 BD CD. Bài 04. Cho lăng trụ tam giác ABC A B C. Gọi I, J, K lần lượt là tâm của các hình bình hành ACC A BCC B ABB A. Chứng minh rằng: IJ ABB A JK ACC A IK BCC B. Chứng minh rằng: Ba đường thẳng AJ, CK, BI đồng qui tại điểm O.
Chứng minh rằng: IJK song song với mặt đáy của lăng trụ. Gọi G, G’ là trọng tâm của các tam giác ABC và A B C. Chứng minh G, O, G’ thẳng hàng Lời giải Chứng minh rằng: IJ ABB A JK ACC A IK BCC B. Ta có IJ là đường trung bình của C AB. Nên IJ AB. Mà AB ABB A Vậy IJ ABB A. Chứng minh tương tự, ta có: JK ACC A IK BCC B. Chứng minh rằng: Ba đường thẳng AJ, CK, BI đồng qui tại điểm O. Xét ba mặt phẳng C AB A BC B AC. Suy ra theo định lí giao tuyến: ba đường thẳng BI AJ CK đồng quy tại một điểm.